Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если E — векторное пространство над К, то оно совпадает с ассоциированным с ним (как с Л-модулем) векторным пространством; при этом имеет место следующее свойство:
Предложение 5. Пусть А — кольцо целостности, К — его поле отношений и E — векторное пространство над К. Всякое семейство (хх) элементов из Е, свободное относительно А, является свободным относительно К.
Действительно, если ^aa = O, где а-, принадлежат К и все
X
кроме конечного их числа равны нулю, то, как показывает рассуждение, проведенное при доказательстве теоремы 2, в А существует элемент у Ф 0 такой, что уах = P?, принадлежит А для каждого X; поэтому 2 = Y (2 аххх) =°> откуда, в силу предпо-
К Л-
ложеиия, (3>, = 0 для каждого X, а тогда и % = 0 для каждого X, поскольку у Ф 0.
РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ
361
Замечание. Тензорное произведение E10E1 унитарных Л-модулей E1 и Ei может содержать ненулевые зависимые элементы, даже если каждый ненулевой элемент модулей E1 и E2 свободный (см. упражнение 4).
Упражнения. 1) Пусть В—коммутативное кольцо с единицей е и А—его подкольцо, содержащее е. Показать, что если E и F — унитарные А -модули, то В-модуль (Е (7)F)(1 ^ изоморфен В-модулю E(B)<QF(B).
*2) Пусть E — векторное пространство над полем К. Показать, что для множества FXZ E следующие предложения равносильны:
а) F есть векторное пространство относительно подполя L поля К\ каноническое отображение FbE продолжается (следствие теоремы 1) до ^-изоморфизма F(К) на Е; группа автоморфизмов поля К, оставляющих инвариантным каждый элемент из L, не оставляет инвариантным никакого другого элемента из К.
б) Группа Г биавтоморфизмов (Приложение I к главе II) пространства Е, оставляющих инвариантным каждый элемент из F, не оставляет инвариантным никакого другого элемента из ? и не содержит никакого нетождественного автоморфизма пространства Е. [Показать, что поле L есть множество тех элементов \ ?К, для которых x?F влечет Ix^F.]
*3) Пусть А—кольцо целостности с единицей и Е, F—произвольные Л-модули. Показать, что если х—свободный элемент из E и у — свободный элемент изF, то х (7) у есть свободный элемент в E <QF. [Достаточно доказать, что х0уф 0; начать с рассмотрения случая, когда все ненулевые элементы из E и F свободные; использовать предложение 8 § 1 дли сведения к случаю, когда EnF имеют конечное число образующих, и, далее, следствие 1 теоремы 2 для установления существования такого Л-билинейного отображения / произведения EXF в поле отношений К кольца А, что f(x, у) ~ 0. Перейти к общему случаю с помощью предложения 6 § 1.]
*°4) Пусть А—кольцо Ка[Х, У) полиномов от двух неизвестных X, Y над полем K0 и E — идеал (.ЗГ)-|-(У) этого кольца (множество всех полиномов, не содержащих члена нулевой степени). Показать, что в тензорном произведении EiQE А-модуля E на себя элемент XIQY ~Y IQ E отличен от нуля, но XY(XQY-YiQX) = 0. [Рассмотреть билинейные отображения EXE в фактормодуль AfE. I0
5) Пусть А—произвольное коммутативное кольцо с единицей и К — его кольцо отношений (гл. I, § 9, п° 4). Пусть, далее, Е— произвольный унитарный А -модуль и S — множество тех элементов х ?Е, аннулятор которых (гл. II, § 1, п° 9) содержит по крайней мере один элемент из А, не являющийся делителем нуля. Показать, что S есть подмодуль модуля E и что каноническое отображение ж —> 1 0 х
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 2
модуля E в Е(К) есть Л-линейное отображение E на Л-модуль E1, изоморфный ElS, такое, что E^ = KE1.
6) В обозначениях упражнения 5, дать прямое доказательство существования ЛГ-модуля F и .4-линейного отображения ср модуля E в F таких, что E1 = ^(E) изоморфно EIS1 F = KE1 и для каждого .4-линейного отображения / модуля E в произвольный ЛГ-модуль N существует АГ-линейное отображение / модуля F в TV такое, что / = / с ф. [Для построения/1 воспользоваться способом, примененным для симметризации коммутативного ассоциативного закона (гл. I, § 2, п° 4).]
*7) Пусть В— кольцо (коммутативное или нет), обладающее единицей е, А—его произвольное подкольцо, содержащее е, и E — произвольный унитарный Л-модуль.
а) Обобщить на E предложение 1.
б) Определим в тензорном произведении BQE, где В ж E рассматриваются как Ъ-модули (аддитивные группы без операторов), структуру левого В-модуля, положив t(xQy) = (tx)Qy для всех 1?В, х ? В и у d Е. Пусть IJ—подмодуль этого ZJ-модуля, порожденный множеством элементов вида (a Qx) (к Q (ах)), где а пробегает Л их пробегает Е, далее, F—Л-модуль (BQE)IH и <р (х) для каждого х?Е — класс eQx (modi/). Показать, что: I0 ф (E) порождает F; 2° для каждого Л-линейного отображения / модуля E в произвольный унитарный В-модуль N существует однозначно определенное В-линейное отображение g модуля F в TV такое, что /=g° ф.
в) Вывести из а) и б), что если Л содержится в центре кольца В,
то существует такой изоморфизм ip В-модуля определенного
в п° 1, на В-модуль F = (BQE)IH, определенный в б), что ф(ж) = = ij> (е Q х) для каждого х?Е. Следовательно, когда Л содержится в центре кольца В, Е^щ отождествляется посредством этого изоморфизма с F; в случае произвольного Л модуль F также будет обозначаться Е^щ, и мы будем говорить, что он получен путем расширения кольца операторов модуля E до В, а отображение ср, определенное в б), будем называть каноническим отображением E в Е(1{).
