Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Из предложения 1, в частности, вытекает, что каждое линейное отображение и модуля EbF есть сумма конечного числа
/ ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 381
-іііііеііньїх отображений вида х—>{т,х')у. Впрочем, это легко установить и непосредственно: если (я4) — базис модуля Е, то для каждого х=^_ ^ai Є E имеем
г
и (X) = ^ IiM (Cii) = а') и (at),
І І
і де (а1) — сопряженный базис .модуля Е*. Мы видим при этом, что если и — элемент из Е* ® F, отвечающий и при каноническом изоморфизме, то для каждого базиса (а{) модуля E
« -=1’аі®н(«і)- (4)
І
В том случае, когда F = E, канонический изоморфизм и— относит каждому эндоморфизму и модуля E смешанный тензор и на E (принадлежащий Е*0Е), один раз коптраварнаптный и один раз ковариаптный. Если x’j — компоненты этого тензора
относительно базиса (Cti) модуля Е, так что и='^аі3ахаі,
і, і
то, как показывает сравнение с (4), к(а4) = 2 aI3aj] иными
j
словами, компонента щ3 тензора и есть элемент матрицы эндоморфизма и (относительно того же базиса), находящийся на пересечении і-го столбца с j-й строкой.
3 а м е ч а н и я. 1) Каждому эндоморфизму и' модуля Е*, сопряженного к Е, так же соответствует смешанный тензор и', принадлежащий на этот раз модулю E 0 Е* (при отождествлении E** с Е); так же, как выше, устанавливается, что для каждого базиса (aj) модуля E
і7' = 2 иіи> (а’:)’
г
так что компонентой Pтензора и' относительно (а) служит элемент матрицы эндоморфизма и’ (относительно базиса (а )), стоящий на пересечении i-го столбца и /-ІІ строки. В частности, если и' = tU, то тензоры и и и1 соответствуют друг другу при канонических изоморфизмах между Е* ® E и E 0 Е* (п° 1).
2) Как мы знаем (§ 1, п° 2), каждому билинейному отображению EXE в E можно отнести линейное отображение E 0 E в Е, и следовательно. согласно предыдущему,— элемент из (E 0 E)* 0 Е, иными словами, дважды ковариаптный и один раз контравариантный тензор, принадлежащий модулю Е* 0 Е* 0 Е. В частности, каждой структуре алгебры в E (гл. II, § 7), поскольку она определяется билинейным
382
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 4
отображением (х, у) —> ху, соответствует такой тензор; коэффициенты Y>+lv> входящие в таблицу умножения этой алгебры относительно базиса (a(гл. II, § 7, п° 2),— это не что иное, как компоненты соответствующего тензора относительно указанного базиса.
3) Более общим образом, каждый модуль р раз контравариант-ных и q раз ковариантных тензоров над E изоморфен модулю линейных отображений Err, в при всякой системе целых положительных. г, s, г', s' такой, что г' - s = p и r-t-s'=q.
о. ('лед эндоморфизма. След матрицы
Определение 4. Пусть E — А-модулъ с конечным базисомг. Следом Tr (и) его эндоморфизма и называется скаляр с\(и), полученный путем свертывания смешанного тензора и, соответствующего и.
То же самое можно выразить, сказав, что для любых пар конечных семейств (х[) элементов из Е* и (Jzi) элементов из E таких, что тождественно и (я) = 2 (х, х[) U1, имеет место равенство
°Как мы впоследствии узнаем, это последнее определение дает в некоторых случаях отправной пункт для обобщения понятия след* на (непрерывные) эндоморфизмы топологических векторных пространств, о
Если U = (ар — матрица эндоморфизма и относительно базиса (а4) модуля Е, след Tr (и) принимается, по определению, также-за след матрицы U и обозначается тогда Tr (U); согласно формуле-
(4), имеем Tr (и) — 2 {и (at), а1) = 2аЬ иными словами, след‘
квадратной матрицы — это сумма ее диагональных элементов, Определение следа матрицы показывает, что следы подобных матриц X и PXP 1 (гл. II, § 6, п° 11) равны. Это предложение-может быть также выведено из следующего более общего:
Предложение 2. Каковы бы ни были матрица X из т строк¦ и п столбцов и матрица Y из п строк и т столбцов над коммутативным кольцом А,
Tr (и)= 2 <«Zi- *\)-
(5>-
Tr (ZY) = Tr (YX).
ФУ
тензоры и тензорные пространства 383-
Доказательство этого утверждения сводится к доказательству ТОГО, ЧТО Tr (Mo у) = Tr (V О и) для линейного отображения и модуля E = An в F = Am и линейного отображения v модуля F в Е; при этом можно ограничиться тем случаем, когда и имеет видя—>(х, а’)Ъ (b?F, а'?Е*), а и—вид у —>(у, Ъ')а (а?Е, b'?F*), поскольку каждое линейное отображение есть сумма отображений этого вида, a Tr (w) — линейная функция от w\ но в этом частном случае имеем
Tr (и о v) = Tr (v о и) = (а, а')(Ь, Ь') согласно определению 4.
Следствие. Пусть (Xi)^i5p — конечная последовательность р матриц над коммутативным кольцом А таких, что, обозначая через Mi число строк и через Ui число столбцов матрицы Xi, имеем Mi = TWitj при 1 </</> — 1 и пр = т1. При этих условиях
Tr (X1X2 ... Xp) = Tr (XiXitl . . . XpX1 . . . Xi.,) (7)
(«инвариантность относительно круговых подстановок»).
Достаточно применить (б) к произведению (Xi . .. Xp) (X1 .. .
.. . Xi.,).
Заметим, что, напротив, для произвольных матриц X, У, Z вообще говоря, Tr (XYZ)=I=Tt (XZY).
Пусть X = (Iij), Y = (rii;-) — квадратные матрицы n-го порядка; тогда Trj(Xy) = X^ij1Iji (чт0 Дает второе доказательство
