Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Введем следующее определение:
368
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 3
Определение 1. Пусть G — алгебра над полем К, имеющая единицу е (отождествляемую с единицей поля К), и Е, F — подалгебры этой алгебры, содержащие К. E и F называются линейно раздельными над К, если: 1° подалгебры EuF коммутирующие', 2° каноническое представление E0F в G есть изоморфизм E&F в G.
Тогда имеет место следующий критерий:
ТЕоРЕма 1. Пусть G — алгебра над полем К, имеющая единицу, и Е, F — ее коммутирующие подалгебры, содержащие К.
Для того чтобы EuF были линейно раздельными над К, необходимо и достаточно, чтобы в E существовал базис относительно К, являющийся свободным множеством в G при наделении G структурой правого модуля относительно F.
При этих условиях каноническое представление ф алгебры E(g}F в G есть изоморфизм E0F на подалгебру HeG, порожденную множеством E\JF\ далее, EГ)F = K, и каждое свободное множество в E (соответственно в F) относительно К есть свободное множество в G, наделенном структурой правого модуля относительно F (соответственно Е).
Сформулированное условие очевидно необходимо, поскольку, в силу следствия 1 предложения 7 § 1, каждый базис в E есть базис в E&F относительно структуры правого F-модуля. Обратно, условие достаточно; действительно, образ H алгебры E0F при ее каноническом представлении ф совпадает с множеством
всевозможных сумм 2 хіУі в G, где Xi^E ViyiZF; поэтому, если І
(ах) — базис E относительно К, H есть также подмодуль правого F-модуля G, порожденный семейством (а%). Таким образом, условие теоремы означает, что в E существует базис (а{) (относительно К), являющийся также базисом F-модуля H; а отсюда вытекает, что ф—взаимно однозначное отображение (гл. II, § 2, п° 4).
Остается убедиться в том, что EP\F = К в G; достаточно показать, что Ef]F = K в E0F. Возьмем в E базис, содержащий е, и пусть (by) — семейство остальных элементов этого базиса; если х0е — е0у для xZE, у ZF, то, поскольку можно написать х = l0e + 2 ?А. имеем l0e®e + 2 (?А<8> е) = е® у,
I I
откуда, в силу следствия 1 предложения 7 § 1, вытекает, что h = 0 для всех і, значит, х®е = е(?)yZK.
4 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 369
Следствие 1. Для того чтобы каноническое представление E(S)F в G было изоморфизмом E®F на G, необходимо и достаточно, чтобы в E существовал базис относительно К, который являлся бы базисом для G, рассматриваемого как правый модуль относительно F.
Следствие 2. Пусть EuF — коммутирующие подалгебры
в О, имеющие каждая конечный ранг над К. Для того чтобы E и F были линейно раздельными над К, необходимо и достаточно, чтобы подалгебра в G, порожденная множеством E\JF, имела ранг над К, равный произведению рангов EuF.
Заметим, что понятие линейно раздельных подалгебр существенно зависит от того подполя К центра алгебры G, которое рассматривается как поле операторов этой алгебры; действительно, E и F, линейно раздельные над К, пе могут быть линейно раздельными ни над каким подполем Kn поля К, отличным от К, поскольку не выполнено необходимое для этого условие E '!/' = AC0 (кстати сказать, отнюдь еще не достаточное для того, чтобы подалгебры EnF были линейно раздельными над К0\ см. гл. V, § 3).
4. Расширение кольца операторов алгебры
Пусть В — коммутативное кольцо с единицей е н А — его подкольцо, содержащее е; В может рассматриваться как алгебра над А. Пусть E — алгебра над А; как мы видели (§ 2, n° 1), в тензорном произведении В ® E Л-модулей В и E условием t- (х <8 у) = {tx) ® у (t?B, х? В, у?Е) определяется структура унитарного В-модуля. Эта структура и умножение, введенное на В ® E в n° 1, определяют в множестве В <g) E структуру алгебры относительно В; чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что, каковы бы ни были 16 В, z?B(giE, z'?B(g)E, имеют место равенства t(zz') = (tz)z' = z(tzf); так как каждое из этих трех произведений является линейной функцией ОТ Z и от z , достаточно проверить их равенство для z = х <g) у и z =х' ® у' (где х, х' — элементы из В и г/, у' — элементы из Е)\ но, в силу предположенной коммутативности кольца В, последнее оченидно.
Мы по-прежнему говорим, что определенная так алгебра над В получена путем расширения кольца операторов алгебры E до В,
24 II. Вурбаки
370
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 3
и обозначаем ее Е(В) во избежание всякого смешения с алгеброй В 0 E над кольцом А (получающейся при этом путем сужения кольца операторов алгебры E(B) до А).
Теперь, в каждой алгебре относительно В сужение кольца операторов до А определяет структуру алгебры относительно А; говоря о структуре алгебры относительно А в алгебре относительно В, мы всегда имеем в виду структуру, полученную указанным способом; при этом для обозначения представления алгебры относительно А (соответственно В) в алгебре относительно того же кольца мы, как и в § 2, вводим термины A-представление (соответственно В-представление).
Ясно, что каноническое отображение (§2, п° 1) х —» е 0 х алгебры E в Еф) есть А -представление E на подалгебру алгебры В 0 Е, поскольку (е0 х) (е 0 х') = е 0 (хх) для всех xg E и х' € Е.
