Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
г) Показать, что если B = A, то Л-модуль E^ изоморфен Л-модулю Е.
д) Обобщить на E предложение 3.
е) Если E — прямая сумма семейства (Ep1)CBOHxnOAMOflynefl1TO изоморфно прямой сумме В-модулей (Еу)^Ву В частности, если
(?) — базис модуля Е, то каноническое отображение ф этого модуля в Е^щ есть изоморфизм; по отождествлении E Ccp(E)HOcpeflcTBOM изоморфизма ср (а} ) будет также базисом модуля Е^ву, каждое Л-линейное отображение модуля E в произвольный унитарный В-модуль -У однозначно продолжается до В-линейного отображения E^ в N.
I
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР
363
ж) Предположим, что А есть кольцо, допускающее тело левых отношений К (гл. I, § 9, упражнение 8). Пусть E — унитарный A-модуль, E— левое векторное пространство над К, полученное путем расширения кольца оператором модуля E до К, и <р — каноническое отображение E в Е^Ку Показать, что утверждения теоремы 2 и ее следствий полностью сохраняют силу. [Заметить, что для любого конечного числа элементов (1 <Г. і к' п) из К в А существует а Ф О такое, что все Ogi принадлежат А.]
§ 3. Тензорные произведения алгебр
1. Тензорное произведегіие алгебр
Пусть E и F— алгебры над коммутативным кольцом А с единицей. Они наделены структурой A-модуля, лежащей в основе их структуры алгебры. Пусть G = Jsi(S)F-TensopHoe произведение А-модулей E и F; мы определим на G умножение, которое вместе со структурой А-модуля определит в G структуру алгебры относительно А. Для этого заметим, что, поскольку умножение на G есть билинейное отображение GxG в G, достаточно {§ 1, п° 2) определить его для всевозможных пар (z, z') тензорных произведений z=x0y, z'—x'®y', проверив, что каждое из частичных отображений
(х, у)-^{х0 у) (ж' ® у'), (ж', у')->(х ® у) (X' (g) у')
билинейно на ExF. Ho эти условия будут очевидно удовлетворены, если принять
(х ® у)(х' <g> у') = (хх') ® {уу'). (1)
Остается проверить, что определенное так на G умножение ассоциативно-, ввиду его двоякой дистрибутивности относительно сложения все сводится к установлению того, что
((ж ® у) (ж' ® у')) (х" Igi у") = (х ® у) ((а/ ® у') (ж" ® у"));
но это свойство вытекает из ассоциативности умножения на E и F, поскольку обе части формулы равны (хх'х")®(уу'у").
Множество E ® F, наделенное определенной так структурой алгебры, называется тензорным произведением алгебр EuF.
364
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
гл. пі, § 3
В случае, когда E и F- кольца без операторов, под тензорным произведением EigF, по определению, понимается тензорное произведение EaF, рассматриваемых как алгебры над кольцом Z рациональных целых чисел.
Тензорное произведение E0 ig F0 алгебр E0 и F0, противоположных EnF, изоморфно алгебре, противоположной E ® F, и отождествляется с нею; в частности, если E и F — коммутативные алгебры, то это же верно и для EgiF.
Предложения 4 и 5 § 1 распространяются на случай, когда E и F — алгебры над А, поскольку определенные там канонические изоморфизмы являются одновременно изоморфизмами структур алгебры.
Предложению 6 § 1 соответствует следующее предложение:
Предложение 1. Пусть E и F — алгебры над А, а — двусторонний идеал алгебры Eub — двусторонний идеал алгебры F. Подмодуль Г (а, Ь) в EigF, порожденный всевозможными элементами вида x(gy, где ж ? а и г/ g Ь, является двусторонним идеалом алгебры EigF, и факторалгебра (E0F)/T (а, Ь) изоморфна тензорному произведению (Е la)(g(F/Ъ) факторалгебр E/а и F/Ъ.
Доказательство предложения 6 § 1 без всяких изменений применимо и здесь, поскольку, как легко видеть, линейные отображения, определенные в этом доказательстве, являются представлениями соответствующих структур алгебры.
Пусть MnN — подалгебры алгебр E и F\ каноническое отображение модуля MigN в модуль E(gF (§ 1, п° 3) есть также представление алгебры MgjN на подалгебру алгебры EigF; в случае, когда А — поле, это представление есть изоморфизм (§ 1, следствие 3 предложения 7), и алгебра MigN отождествляется с ее образом при этом каноническом изоморфизме.
Точно так же (предполагая А снова произвольным коммутативным кольцом), если EnF — прямые суммы семейств своих подалгебр (Ex) и (Z1tl), то каноническое отображение каждой из алгебр E^tgFll в EtgF есть изоморфизм, и при отождествлении каждой алгебры E^tgFll с ее образом при этом каноническом изоморфизме EgiF является прямой суммой подалгебр ExigFll. При этом:
2
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР
365
Предложение 2. Если алгебра E есть прямая композиция (гл. I, § 8) подалгебр Ei (1<г<т), а алгебра F — прямая композиция подалгебр Fj (I < j -C п), то алгебра EC^F есть прямая композиция подалгебр EiCglFj.
Достаточно доказать, что подалгебры Ei^Fj взаимно аннулируются (гл. I, § 8, предложение 7); но если X^Ei, х'ZEh, УZFj, y'?Fk и (і,])ф(к,к), то (х&у){х'®у') = (хх'Щ{уу')=О, поскольку ОДНО ИЗ произведений XX , уу' равно нулю.
Замечания. 1) Замечание, сделанпое в п° 3 § 1, применимо ^ к тензорным произведениям алгебр, т. е. тензорное произведение двух алгебр существенно зависит от пх общего кольца операторов, а не только от их структур кольца (без операторов).
