Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Легко определить тензорное произведение любого конечного числа алгебр Ei над одним и тем же кольцом А; предоставляем читателю сформулировать для такого произведения свойства, установленные выше для тензорного произведения двух алгебр (см. Приложение I к этой главе). Отметим лишь, что канонические изоморфизмы, определенные в п0 7 § 1 («ассоциативность» тензорного произведения), в случае, когда Ei — алгебры, являются также изоморфизмами структур алгебры.
2. Примеры тензорных произведений алгебр
I. Пусть E и F — унитарные А -модули с конечными базисами; как мы видели (§ 1, предложение 9), структуры А-модуля в X (E(giF) и X (E)ig) X (F) канонически отождествимы; формула (6) § 1 показывает, что при этом отождествлении структура алгебры в X (S&F) отождествляется с тензорным произведением структур алгебры в X (E) и X (F). Этот результат можно выразить также следующим образом (гл. II, § 6, п° 5):
Предложение 3. Тензорное произведение алгебр квадратных матриц порядков р и q над коммутативным кольцом А с единицей изоморфно алгебре квадратных матриц порядка pq над А.
II. Пусть E — алгебра над А, обладающая единичным элементом, свободным в E (и, следовательно, отождествимым с единицей кольца А)\ кольцо Mn(S) квадратных матриц га-го порядка над E есть также алгебра над А; покажем, что она изоморфна тензорному произведению ?”0Мп(Л). Действительно, отнеся
366
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 3
каждому тензорному произведению /®Х € i?®Mn (А) матрицу tX=
— Xt?Mn{E), мы получим представление алгебры EigMn(A) в Mw(^E1)1 поскольку (tX)(t’X')—(tt')(XX'). Чтобы убедиться в том, что это представление есть изоморфизм i?®Mn(yl) на Mn(E), заметим, что матрицы Eij канонического базиса .4-модуля Mn (Л) образуют также канонический базис в Mn (E) (рассматриваемом как правый или левый ^-модуль); с другой стороны, каждый
элемент из EigMn(A) однозначно представим в виде 2 (tH^Eij)
і, і
(§ 1, следствие 1 предложения 7), и ему соответствует при рассматриваемом представлении матрица ^ti-EijZMn(E)-, тем са-
і, і
мым предложение доказано.
III. Пусть S и У —любые два моноида, a E=A(S) и F=A(T)— их моноидные алгебры относительно кольца А (гл. II, § 7, п° 9); тензорное произведение E®F этих двух алгебр изоморфно моноид-ной алгебре G=Af-sxr^ моноида SxT (гл. I, § 4, п° 5). Действительно, когда и и V пробегают соответственно S и Т, элементы и® и образуют базис в E(gF, а элементы (и, v) — базис в G; тем самым отнесение элементу (и, v) элемента и® г; определяет изоморфизм структуры модуля в E(gF на структуру модуля в G, и в силу (1) ясно, что это отображение есть также изоморфизм структуры алгебры в E(gF на структуру алгебры в G.
3. Характеризация тензорного произведения двух
алгебр над полем
Пусть E и F — алгебры над полем К, имеющие каждая единичный элемент-, К можно отождествить тогда (гл. II, § 7, п° 4) с подалгеброй каждой из алгебр E и F, сделав единицу е поля К общим единичным элементом этих алгебр. Тогда е®е будет единичным элементом в E(gF и К можно будет отождествить также с подалгеброй K(eige) алгебры EigF. При этих соглашениях имеем:
Предложение 4. Отображение х —>x(ge (соответственна
У—¦- eigy) есть изоморфизм E (соответственно F) на некоторую подалгебру E1 (соответственно F1) алгебры E(gF, и каждый элемент из E1 перестановочен с каждым элементом из F1.
;і ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 367
Очевидно, X—>x(Qe есть представление E в E(QF, ибо (x<Qe) (х' (Q е) = (хх')0 е\ точно так же у —> е(х)г/ есть представление F в EiQF, и так как
х®у = (x(Qe) (e<Qij) = (e<Qy) (XiQe),
то каждый элемент из Ei перестановочен с каждым элементом из F1. При этом, если х Ф 0 в Е, то x(Qe Ф 0, поскольку е Ф 0, a E и F-векторные пространства над К (§ 1, следствие 2 предложения 7). Тем самым отображения х—>x<Qe и у—> e(Qy—изоморфизмы (называемые в дальнейшем каноническими).
Эти изоморфизмы позволяют отождествлять E и F с их образами E1 и F1; тензорное произведение x(Qy отождествляется тогда с произведением ху {=ух) в алгебре EiQF, что позволяет отказаться от обозначения x(Qy; в частности, при F=K тензорное произведение EtQK отождествляется с Е. Если M (соответственно iV) — подалгебра в E (соответственно в F), то алгебра M(Q)N отождествляется с подалгеброй в E(QF, порожденной произведениями ху( = ух), где X пробегает М, а у пробегает N.
Пусть заданы алгебра G над полем К, имеющая единицу е (отождествляемую с единицей поля К), и две ее подалгебры F и G, содержащие К; исследуем, при каких условиях существует изоморфизм ф алгебры EiQF на G, совпадающий на E и F (отождествленных указанным выше образом с подалгебрами алгебры E(QF) с тождественным отображением. Первое необходимое условие существования такого изоморфизма дает нам предложение 4: каждый элемент из E должен быть перестановочным с каждым элементом из F; мы говорим тогда, что E и F — две коммутирующие подалгебры алгебры G. При выполнении этого условия изоморфизм ф (если он существует) вполне определен, ибо тогда ф (xiQг/) = ф (х) ф (у) = ху в G. В любом случае, в силу билинейности отображения (х, у) —> ху произведения E X F в G, существует линейное отображение ф модуля EtQF в G такое, что ф (x<Qy) = ху (§ 1, п° 2), и так как каждый элемент из Е, по предположению, перестановочен с каждым элементом из F, то ясно, что ф есть представление алгебры EiQF в алгебру G; будем называть его каноническим представлением.
