Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
і. І
предложения 2); кроме того, эта формула показывает, что каждая линейная форма на ..4-модуле Mn (А) квадратных матриц п-то порядка над А может быть представлена, и притом единственным способом, в виде X—> Tr (РХ), где P — фиксированная квадратная матрица; это отображение может быть тождественно нулевым, лишь если P = 0.
Мы выведем из этого замечания, что предложение 2 характеризует (с точностью до постоянного множителя) след матрицы среди линейных форм на Mn (Л); а именно:
Предложение 3. Если / — линейная форма на модуле Mn (Л),. для которой тождественно / (XY) = f (YX), то существует скаляр Qg А такой, что f (X)-Q Tr(X) для каждой матрицы X..
384
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ III, § 4
Действительно, существует фиксированная матрица P такая, что J(X) = Tv(PX) для всех Xg Mn (А)', поэтому условие f(XY) = f(YX) записывается в виде Tr (PXY) — Tr (PYX), или, на основании (7), Tr(PXF) = Tr(XPF), или, наконец, Tr ((PX — XP) Y) = 0; так как это соотношение имеет место для каждой матрицы Y, заключаем, что PX = XP для каждой матрицы X, откуда, в силу следствия 1 предложения 5 §2 главы II, P = Qf (где / — единичная матрица), и предложение доказано.
В случае квадратных матриц над полем К предложение 3 допускает следующее истолкование: векторное подпространство векторного
пространства Mn(K), порожденное матрицами XY—УХ, есть гипрр-плоскост ь.
6*. Тензорная алгебра
Пусть Е — унитарный Л-модуль и T(E) — прямая сумма
V
всех его тензорных степеней &)Е, где р пробегает множество N целых чисел >0. Понятие произведения двух тензоров позволяет определить в T (E) структуру алгебры относительно А. Действительно, каждый элемент zg T (E) однозначно представим
CO
в виде Z= Tsp, где zp — контравариантный тензор р-го р—0
порядка (равный нулю для всех кроме конечного числа значений р),
CO
Пусть также z = 2.’ z'v € T(E). Положим zz' = 2 zpz';. Оче-
P=O v, q
видно, определенное так на T (E) умножение двояко дистрибутивно относительно сложения; оно ассоциативно в силу соотношения (ZpZq) Zr = Zp (zqzr) между тремя тензорами порядков р, q, г, очевидного для разложимых тензоров и распространяющегося на произвольные тензоры по дистрибутивности. Наконец, ясно, что a (zz) = (az) z = z (ocz') для каждого скаляра а ?А. Тем самым T(E) действительно есть алгебра над А; она называется тензорной алгеброй модуля Е. Эта алгебра имеет своим единичным элементом единицу є кольца А и вообще не коммутативна; для элементов из E (контравариантных векторов) умножение в T (E) дает не что иное, как тензорное произведение, определенное-
ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
385
в п° 2 § 1; тем самым множество A U E составляет систему образующих алгебры T (E). Если E обладает базисом (а%), то T (E) обладает (бесконечным) базисом, образованным единичным элементом и всеми тензорами . . . ахр, где (A4) пробегает
множество всевозможных конечных последовательностей (с любым числом членов) элементов множества индексов; таблица умножения этого базиса задается соотношениями
(aij . . . а^р) ((J-Iil ¦ . . Яд9) = aX1 • • • a^paH1 • • • aixq-Каждое линейное отображение и модуля E в произвольный .1-модуль F однозначно продолжается до представления алгебры T (E) в алгебру T (F). Действительно, если и — такое продолжение, то и (є) = є, откуда и(а) — и(ав) = аи(е) = а для любого скаляра а; с другой стороны, для всякого разложимого тензора Zr — X1X2 ... хр порядка р > 0 мы должны иметь
« (Zp) = U (xI) и (Z2) ¦¦¦ и (Xp) = иР (Zp),
где и“ означает р-ю тензорную степень и, и это соотношение должно выполняться также для любого контравариантного тензора р-то порядка, поскольку такой тензор есть сумма разложимых тензо-
OO
ров. Следовательно, для каждого элемента z= Tz из T(E),
P=O
разложенного в сумму тензоров различных порядков, должно
CX* CO
выполняться равенство u(z)— 2 й (ZP) = 2 иР (zJ (гДе и°
P=O P=O
означает тождественное отображение А на себя). Обратно, ясно, что так определенное отображение и действительно является представлением T (E) в T (F). и будет называться каноническим продолжением и на Г (E). Если v — линейное отображение F в А -модуль G и V — его каноническое продолжение на T (F), го каноническое продолжение композиции vouhbl T(E) совпадает с vou. В частности, если и — автоморфизм модуля Е, то и — автоморфизм алгебры T (E).
Если E — подмодуль модуля F ж и — каноническое отображение E в F, то и есть представление T (E) в T (F), также называемое каноническим', оно не всегда взаимно однозначно (см. § 2, упражнение 4). Однако, если F — векторное пространство, то
-5 н. Бурбаки
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 4
«"есть изоморфизм T(E) в T (F) (§ 1, следствие 3 предложения 7), и T (E) часто отождествляется посредством него с подалгеброй
и T (F), являющейся его образом.
Упражнения. 1) Пусть E — конечномерное векторное пространство и г — тензор, принадлежащий E^. Пусть, далее, Wi для каждого коптравариантного индекса і (1 і р) есть подпространство в E*, образованное теми х'?Е*, для которых clr/_,_t(z-x') = О,
