Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 148

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 201 >> Следующая


ГЛ. III, § 4

3. Умножение и свертывание

р+ч

Пусть F = (^) El — модуль р раз контравариантных и q раз

г=1

ковариантных тензоров над E (Е[ = Е для р индексов i, E1i = E*

r+S

для q остальных индексов) и G= 0 Е)~ модуль г раз контра-

вариантных и s раз ковариантных тензоров (E) = E для г индексов /' и Ej = E* для остальных s индексов). Как мы знаем {§ 1, п0 7), тензорное произведение F 0 G можно отождест вить посредством канонического изоморфизма с модулем

Р+д+г+в

H = (??) Eh р г раз контравариантных и q + s раз кова-

fe=i

риантных тензоров, определяемым условиями Eh = Eh, когда I р + q, и Ep+q+h = Eh, когда I </i<r+s. Когда это отож-

дествление произведено, (х, у)—>х0г/ есть билинейное отображение FxG в Н, значением которого для пары разложимых

p+q r+s

тензоров X=(X)X1^F, г/= (g) у^ ? G служит тензор ?0г/ =

г— I j=l

Р+9+Г+8

= 0 zft. где Ч = Xh, когда 1 <&</> + ?, и z h = yh, когда

ft=l

I <h < г -j- s. Это отображение, очевидно являющееся тензорным, называется умножением тензоров из F и G; в соответствии с общими соглашениями, тензор х^у^Н (x?F, y?G) при отсутствии опасности смешения обозначается также ху.

В предыдущем определении неявно предполагается, что р и q не равны одновременно нулю; на случай р = q = 0 определение умножения распространяется путем принятия произведения скаляра а ?А и тензора y?G равным их произведению а у относительно внешнего закона структуры Л-модуля в G. Аналогично определение и для случая г = s = 0.

Понятие произведения любых двух смешанных тензоров позволяет придать определению тензорного отображения произведения FXG тензорных пространств F и G в тензорное пространство H такой вид: это — отображение /, для которого существует тензорное отображение g тензорного пространства F 0 G в Н, удовлетворяющее тождеству /(я, y) — g(xy).
ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

379

Пусть р > 0 и q > 0. Свертыванием і-то контравариантного индекса с /'-M ковариантным (II</<g) называется

относящее каждому разложимому тензору 2 = ? ... хрх[ ... x'q тензор

с\ (Z) = (Жі- • • • XpX'l ¦ ¦ ¦ x'i-lx'i+l - - ¦ xq-

Ясно, что этим действительно определяется линейное отображение (§ 1, п° 2, схолия); при этом, так как для каждого автоморфизма и модуля E имеем (и (Xi), и (zj)) = (Xi, x'j), то s}(u-z) = (Xi, Xj) и (X1) . . . U(X^1)U(Xitl) . . . и (хр)и(х[) . . .

Так же определяются свертывания в любых модулях р раз кон-травариантных и q раз ковариантных тензоров.

где первая сумма распространяется на все индексы, отличные от Xi и (ху. Иными словами, компоненты свернутого тензора cj (2) относительно базиса (а-) задаются формулой

Разумеется, в смешанном тензоре можно свертывать несколько їіар индексов, что, очевидно, сводится к последовательному свертыванию каждой из этих пар (в любом порядке).

Часто приходится выполнять операцию, состоящую в образовании произведения двух тензоров (не являющихся одиовре-

линейное отображение с) тензорного пространства Epq в Epq-j.

... и (x'j-i) и (xj+i) ... u(xq) = u-c)(z), что показывает, что с) есть тензорное отображение Ep в Epz\.

Пусть ?дг '—компоненты г относительно базиса (Ojb) модуля Е, так что

Так как (о^, (кронекеровский символ), то

П

-xI- - ¦ -kP

'11I' ¦ 'fiJ-IQIxJVl- ¦ -Vq ’

(3)
380

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. II. § 4

менно ни контравариантнъши, ни ковариантными) и затем свертывании в полученном смешанном тензоре одной или нескольких пар индексов; определяемое этим отображение, называемое свернутым произведением (для рассматриваемых пар индексов), также является тензорным отображением.

Например, пусть х±х2 — контравариантный тензор, 'произведение двух векторов X1, х2, и XriX2 — коварнантиый тензор, произведение двух линейных форм Xrl, х2; если образовать произведение этих двух тензоров и затем свернуть в нем первый контравариантный индекс с первым ковариантным, а второй контравариантный индекс — со вторым ковариантным, то получится скаляр (тензор нулевого порядка) (X1, х[) (х.1, X2).

4. VndoMoptj.'.USMbi сметанных iucHdojJoe второго

порядка

Пусть E и F — Л-модули с конечными базисами. Предложение

2 § 1, примененное к модулям E и F*, определяет канонический изоморфизм модуля билинейных форм ira E X F* иа модуль X (Е, F**) линейных отображений E во второй сопряженный к F: билинейной форме / на E ;; F* отвечает линейное отображение, относящее каждому х?Е линейную форму у' — ¦>/(х, у') на F*. Ho F** отождествим о с F (гл. II, § 4, п° 4); с другой стороны, ранее был определен канонический изоморфизм тензорного произведения Е* (Q F на модуль билинейных форм на E X F* (§ 1, п° 5), относящий тензорному произведению Xr Q) у билинейную форму

(х, у’)—>(х, х')(у, уг)

на ExF*. Отсюда:

Предложение 1. Если E и F — A-модули с конечными базисами, то линейное отображение E*(QF в X (E, F), относящее каждому тензорному произведению х’ (Q у линейное отображение х—>(х, хг) у, есть изоморфизм E*(QF на X (Е, F).

Этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, будут называться каноническими.
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 201 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed