Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 147

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 201 >> Следующая


р+«

зорное произведение 0 Ui, где Ui = U, когда I и Ui = U,

i=l

когда р-\~ 1< ?</> + q, есть автоморфизм модуля Е\ (§ 1.

следствие предложения 10); мы будем обозначать его иВ силу

формулы (6) § 1, отображение и—> есть представление группы GL (E) автоморфизмов модуля E в группу GL (Eq) автоморфизмов модуля Е\. Тем самым автоморфизмы модуля E выступают в качестве операторов внешнего закона (и, х) —» и\ (х) на Е\\ если это не сможет повлечь путаницу, мы будем обозначать композицию и\(х) оператора и и тензора х просто и-х (или их)\ при этом обозначении имеем (u°v)-x=u-(u-x). Аналогичный внешний закон определяется на каждом модуле р раз контравариантных и q раз ковариантных тензоров, где р и q не равны одновременно нулю. Для каждого автоморфизма и модуля E условимся обозначать через и® тождественное отображение кольца А = El на себя; это позволит распространить определение указанного внешнего закона и на случай, когдар = q = 0.

Определение 2. Тензорным пространством над А-модулем E

P+9

называется каждый подмодуль H модуля тензоров (^Ei (где

?-= 1
376

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. III, § 4

р множителей равны E, а остальные q равны E*), устойчивый

говоря, такой, что для каждого тензора х?Н и каждого автоморфизма и модуля E имеем и-г ? Я), наделенный алгебраической структурой, определяемой, с одной стороны, двумя законами, определяющими его структуру А-модуля, и, с другой стороны, внешним\ законом, индуцированным на H законом (и, х) — и-х.

Замечания. 1) Тензорное пространство H, наделенное структурой, определяемой внешним законом (и, х) ~> и-х, есть пример множества, наделенного группой операторов, в смысле гл. I,

§ 7, п° 2; при этом указанный внешний закон дистрибутивен относительно заданного на H сложения и перестановочен с внешним законом (Л,, х) -¦ Xx структуры /1-модуля в H,

2) В случае, когда ? = О (иными словами, когда речь идет о модуле контравариантных тензоров над Е), иЦ можно определить не только для автоморфизмов модуля Е, но также для любого его эндоморфизма и, как тензорное произведение р эндоморфизмов, совпадающих с и\ если U — второй эндоморфизм модуля E И W = V о и, ТО Wfi = VjP о MjP; но заметим, что (му)P вообще не равно ufi-y-vP; следовательно, определенный на EJ' внешний закон (и, х) —> и*' (х), имеющий своим множеством операторов кольцо j? (E), не определяет структуру левого модуля.

Подмножество L тензорного пространства H над Е, являющееся подмодулем модуля H и устойчивое относительно внешнего закона (и,х)->и-х, будучи наделенным индуцированной из H структурой, очевидно является тензорным пространством над Е; мы будем называть L тензорным подпространством тензорного пространства Н.

Определение 3. Пусть FuG — тензорные пространства над A-модулем Е. Тензорным отображением FeG называется всякое представление / F в G относительно структур тензорного пространства в этих двух множествах.

Согласно общему определению представлений (гл. I. § 4, и0 4), то же можно выразить, сказав, что / есть линейное отображение модуля F в модуль G такое, что / (и-х) = u-f (х) для-

P+ Q

относительно внешнего закона (и, х) — и-х на

(иначе
2 ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 377

каждого автоморфизма и модуля E и каждого тензора x?F. Если, например, F — Efn G = Ers, то это соотношение равносильно соотношению f(u^(x)) — Urs(f{x)).

Другой способ выражения этого тождества состоит в утверждении, что / (X) есть ковариаит тензора х относительно представлений и ->¦ Ufi и и—>игя группы GL(E) (гл. I, § 7, п° 4).

Из определения 3 явствует, что если H есть тензорное подпространство в F, то f (II) есть тензорное подпространство в G;



если К — тензорное подпространство в G, то / (К) — тензорное подпространство в F.

Пусть теперь F, G, H — тензорные пространства над Е; отображение / произведения FxGbH называется тензорным отображением, если / — билинейное отображение такое, что для каждого автоморфизма и .модуля E имеет место тождество f(u-x, и-у) = u-f (х, у); при F = Ef1, G = Efl', H = Ers это последнее соотношение равносильно соотношению / (uf (х), Up (у)) = = Urs (/ (х, у)). Аналогично определяются тензорные отображения произведения любого числа тензорных пространств в тензорное пространство.

Согласно схолии из п° 2 § 1, для определения тензорного отображения / тензорного пространства Efl в Ers достаточно задать значения / на разложимых тензорах X1 . . . XvX1 . . . x’q (в функции ОТ элементов Xi И Xj) и проверить, с одной стороны, что отображение

Or1, ..., Xv, x'v . . . , Xq) > f (X1 ... XpX1 ... х'д)

полилинейно и, с другой стороны, что для любого автоморфизма и модуля E выполняется тождество

/ (и (X1) ... U (Xp) U (Xr1) . . . U (Xg)) = Us (/ (.C1 . . . хрх[ . . . Xg)).

Из этого критерия сразу следует, что определенные в п° 1 канонические изоморфизмы различных модулей р раз контравариантных и q раз ковариантных тензоров (с фиксированными р и q) являются изоморфизмами структур тензорных пространств и этих модулях.
378

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed