Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимость условия очевидна. Его достаточность следует из того, что каждая подстановка а? ©р является произведением транспозиций (гл. I, § 7, п° I), а а—» E0 есть представление группы Зр на мультипликативную группу {—1, +!}•
Определение 3. Пусть M — А-модулъ, связанный с группой ©р.
Элемент а — 2 групповой алгебры В группы ©„ относительно А с?®р
называется оператором антисимметрирования *), a az = ^e0Oz,
CJ
где z?M, —результатом антисимметрирования элемента z. z->az есть линейное отображение модуля M на его подмодуль
V
(при M = &)Е являющийся тензорным подпространством).
Предложение 2. Антисимметрирование любого элемента z?M приводит к антисимметрическому элементу (чем и оправдывается термин «антисимметрирование»).
Действительно, для каждой подстановки q g ©р имеем
Q (az) = 2 E0Qaz = Eq 2 Eq0QCFZ = Eq (ttz) , а о
поскольку o—>qz взаимно однозначное отображение ©р на себя.
Следствие. Если z — антисимметрический элемент из M, то az = p\z.
Действительно, для каждого а?©р имеем тогда e0oz = z.
Замечания. 1) Как видно из доказательства предложения 2, подмодуль в М, образованный результатами антисимметрпрования всевозможных элементов из М, инвариантен относительно каждой
*) В русской математической литературе антнсимметрирование пазы-
IiiiiOT альтернированием.— Перес.
392
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. XII, § 5
подстановки а 6 Sp; другими словами, он является подмодулем относительно структуры В-модуля в М. Доказательство этого, данное при доказательстве предложения 2, показывает, что в кольце В множество всех Xa (К 6А) является левым идеалом. Более общим образом, если I -любой левый идеал кольца В, аддитивная подгруппа в М, порожденная элементами Iz, где t пробегает I, a z пробегает M, есть подмодуль /?-модуля M, или, иначе, подмодуль А -модуля М, инвариантный относительно всех операторов симметрии. В наиболее важных случаях можно показать, что каждый подмодуль В-модуля M может быть получен таким способом.
2) Антисимметрический элемент модуля M не всегда является результатом антисимметрирования какого-либо элемента из M (см. п° 2, замечание, и п° 3, следствие предложения 5). Однако если уравнение р\х=а при каждом а ? M обладает в Af однозначно определенным решением, то всякий антисимметрический элемент z?M получается путем антисимметрирования. Действительно, если z — элемент из М, для которого р\ z' — z, то р\ (az')=az=p\z, откуда z=az'.
2. Знакопеременные полилинейные функции
Пусть E — унитарный Л-модуль и / — антисимметричеспое полилинейное отображение Ev в Л-модуль F, так что для каждого х = (Si) 1<і<рЄ Ep UMeeMj / (тас) = —• / (ас), какова бы ни была транспозиция t. Существование транспозиции т, для которой хх = х, равносильно существованию двух различных индексов i, j, ДЛЯ которых Xi = Xj', если это имеет место, то f(x)~f(xx) — = — /(ас), откуда 2/(ас) =0. Если в модуле F соотношение 2у = 0 влечет у = 0 (а это как раз имеет место, если кольцом операторов А служит поле характеристики Ф 2), то тогда каждое антисимметрическое полилинейное отображение Ep в F аннулируется на всяком ас = (Xi), имеющем (по крайней мере) две равные координаты. Этим подсказывается введение следующего определения, уже без всяких предположений относительно модуля F.
Определение 4. Полилинейное отображении f модуля Ep в F называется знакопеременным, если / (X1, Xi, ... , хр) = 0 для всякого ж = (Xi)^Ep, имеющего (по крайней мере) две равные
V
координаты Xi. Линейное отображение g модуля EeF называется знакопеременным, если знакопеременно соответствующее полилинейное отображение
2
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
393
Таким образом, знакопеременность g означает, что g аннулируется на каждом тензоре z = X1 0 х2 0 . . . 0Хр таком, что
р
хZ = Z хотя бы для одной транспозиции т. Подмодуль <?(§)?’, порожденный такими тензорами z = X1 0 х2 0 . . . 0 хр, будет вплоть до конца настоящего параграфа обозначаться через Н.
р
Знакопеременными линейными отображениями модуля (??) E в мо-
V
дуль F будут тогда те линейные отображения ^EbF, которые аннулируются на подмодуле N. Допуская вольность речи, мы
р
будем называть N подмодулем в (??) Е, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции.
р
Предложение 3. Для каждого тензора z g (Я) E и каждой подстановки сг? элемент z — е0сrz принадлежит N.
Поскольку каждая подстановка <т6@р является произведением транспозиций (гл. I, § 7, п° 1), мы докажем справедливость предложения для произведения п транспозиций индукцией по п.
P
При п= 1 следует показать, что z + TzgAr для каждого z ?(??)?’ и каждой транспозиции Tg Sp. Достаточно рассмотреть тот случай, когда 2 — элемент вида X1 0 X2 0 . . . 0 хр. Предположим, что X переставляет различные индексы і и /. Обозначим для каж-
р
дого у?Е через ф(г/) элемент из &)Е, получающийся путем подстановки в тензорное произведение X1 0 х20 ... 0 хр элемента у вместо каждого из элементов Xi UXj. Для каждого у?Е, по определению, имеем ср (у)?Н. Ho 2 + XZ = ср (Xi + Xj) — Ф (X1) —
