Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
P п-р
лишь от структур внешней степени в AE И Д E (упражнение 12).
P п—р
В гл. VIII будут изучены некоторые изоморфизмы Д E па /\Е, связанные с теорией билинейных форм.
Следствие 2. Если унитарный модуль E над коммутативным кольцом А обладает базисом, состоящим из п элементов, то и каждый другой базис этого модуля конечен и содержит п элементов.
р
Действительно, п есть наибольшее из целых р, для которых /\Е не сводится к 0, так что E не может обладать конечным базисом с числом элементов Ф п; с другой стороны, если бы E обладало бес-
р
конечным базисом, то ни одна из его внешних степеней /\Е не сводилась бы к 0.
7. Buemnue степени линейного отображения
Пусть и — линейное отображение Л-модуля E в Л-модуль F; очевидно,
(T1, ...,Xv)-* и (X1) А ... Д к (xv)
р
есть знакопеременное полилинейное отображение Ep в /\F; поэтому (схолия из Ii0 5) существует однозначно определенное
P P
линейное отображение /\Е в /\F, которое мы будем обозначать р
Дц (или ир, если это не сможет повлечь путаницу) и называть p-й внешней степенью и, такое, что тождественно р
^u(XlA-Axp) = U (X1) А ... А и (хр). (7)
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
403
P
Замечания. 1) Пусть — линейное отображение &)е р
в (Х> , являющееся тензорным произведением р линейных отображений, совпадающих с и (§ I, п°п° 4 и 7), и N (E) (соответственно N (F)) —
P V
подмодуль в (g)E (соответственно в (^^,'порожденный всевозможными тензорными произведениями р элементов, по крайней мере два из которых равны между собой. Ясно, что иР (N (E)) a N (F); отображение
PP PV
модуляД E=(<g)E)/N(E) в ДF= (®F)/N(F), получающееся из uv
р
путем факторизации, и есть как раз Дм.
п
2) Если E я F — свободные модули, так что Дії (соответственно
р
AF) канонически отождествимо с модулем U (E) (соответственно U(F)) антисимметрированных тензоров р-го порядка над E (соответственно
р
KaifrF', см. предложение 6), то из замечания 1 следует, что Дм отождествляется при этом с сужением иР на подмодуль U (E).
Пусть G — третий Л-модуль и и — линейное отображение F в G; из (7) по линейности сразу следует, что
А (о о И) = (До) о (Дм). (8)
P V
Если и — отображение E на F, то Дм есть отображение /SiE
V
на если и — изоморфизм E на F и v — обратный ему,
P PPV
то Д и есть изоморфизм Д E на Д F, а Д v—обратный изоморфизм.
V
Напротив, если и — изоморфизм E в F, Д и не обязательно
P V
является изоморфизмом AE в Д/'1 (упражнение 10). Однако справедливо следующее предложение:
Предложение 7. Если F — подмодуль модуля E такой, что существует, конечный базис («і)і^і;сп модуля Е. первые т элементов
р
которого образуют базис для F, то Д ср, где <р—каноническое
р р
отображение FeE, есть изоморфизм Д F в Д Е.
2G*
404 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
Это сразу следует из способа образования базисов модулей
р р
Д E и Д F, отправляясь от базисов и (е^1<с,<;т (теорема 2).
V
Поэтому внешняя степень Д F отождествима посредством
р
отображения Д ф со своим образом при этом отображении; другими словами, для любых р элементов Xi (I <i<p) из F можно отождествлять р-вектор X1A .. . Axp, где Xi рассматриваются как принадлежащие F, с р-вектором Cp(^1)A • • • Аф^р) над Е.
В частности, такое отождествление всегда возможно, когда E — конечномерное векторное пространство, a F — любое его векторное подпространство (гл. II, § 3, теорема 2).
8. Внешнее произведение р-вектора и q-вектора
Пусть E — заданный Л-модуль. Рассмотрим отображение (S1, ..., Xp, IJ1, ..., yq)—> X1A ¦ ¦ ¦ AxvAViA ¦¦ ¦ Ayq
р+«
произведения EvXE4 в Д Е; каждое из частичных отображений (X1, ..., Xp)X1 а ¦ ¦ ¦ AxvAViA ¦ ¦ ¦ Ayr {У V • • • > yq) xi А • • • А xv А У і А ¦ ¦ ¦ A yq
полилинейно и знакопеременно; поэтому (п° 5) существует били-
P Q РН-9
нейное отображение (A е) x(A#)b Л\е, значение которого для
V а
и? /\Е и V g f\E будет обозначаться и Д v и называться внешним произведением и и и, такое, что тождественно
(хіА---АхР)А(УіА---АУо) = хіА--- AxpAyiA ¦¦ ¦ Ayq- (9) Это определение распространяется на случай, когда р=0 (соответственно (?=0), условием, что внешнее произведение a A v скаляра а и g-вектора v (соответственно внешнее произведение и Да р-вектора и и скаляра а) равно а и (соответственно аи).
Замечания. I) В случае, когда p=q=i, внешнее произведение векторов х Є E и у Є F совпадает с бивектором ж д j/, чем и оправдывается общее обозначение и д г; для внешнего произведения /)-вектора и ^-вектора.
8
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
405
Г.I Q v+q
2) Пусть Nv, Nq и A7р+,, — подмодули в (^) Е, (^) E и (^) Е, на которых апнулируются все знакоперемепные линейные функции. Pac-
V ч_ !I4-IJ
смотрим отображение (z, z') —> zz' произведения ($?)?) X ((?j>'E) в E (§ 4, п° 3); соотношения Z1 z2 (mod TVp) и z[ = (mod TV,,) влекут Z1Z^ =J z.,zо (mod Njuq), ибо
2IzI - “2"2 “¦ -3I (“1 —Z->H" (Z1 — z“>) 22-
Поэтому отображение (z, z') —т- zz' порождает путем факторизаций относительно z и г' (Теор. мн., Рез., § 5, и° 8) билинейное отображе-
