Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку каждый тензор есть сумма разложимых тензоров, каждый р-вектор над E есть сумма разложимых р-векторов.
Так как (^1, хг, .. ., хр)—-> X1 Д х.2 Д . . . Axv есть знакопеременное отображение, то каждый разложимый р-вектор, в котором по крайней мере два элемента Xi, х• равны, есть нуль, и для каждой подстановки OgSp (согласно следствию предложения 3) имеем
Xa (1)ДЖ„(2)Д . . . AXa {р) = Sa-X1 A . . . Axp. (6)
Из схолии, приведенной в п° 2 § 1, и введенного выше определения 5 непосредственно вытекает следующая аналогичная
р
Схолия. Линейные отображения Д E в F связаны со знакопеременными полилинейными отображениями Ev в F следующим взаимно однозначным соответствием: линейное отображение f
р
модуля /\Е в F определено, если известно его значение f (X1Д ... Д хр) для каждой последовательности (Xi) из р элементов модуля E и (xj,..., хр) —>/ (х, Д ... Д хр) есть знакопеременное полилинейное отображение. Обратно, для определения линейного отображения
р
Д Ев E достаточно задать отображение (X1, ...,xp)'t—>Jg (X1,'...,хг) модуля Ev в F, проверив его полилинейностъ и знакопеременность; тогда существует, и притом единственное, линейное отобра-р
жение / модуля /\Е вF такое, что f[(xгА ... Axp)=g(xl,s...,xn) для всех (Xi) g Ep.
В частности, незачем проверять, ЧТО соотношение X1А ... Д Xp-= = ViA ... Д Ур влечет g(Xl, ..., Хр) = я(г/! ур).
400 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА I jI. Hi, j Г>
Далее, для определения билинейного отображения произве-
P ч
дения G X H внешних степеней G-- ДЕ и H --= f\F в модуль N достаточно задать отображение g произведения EpXF4 в N, для которого бы каждое частичное отображение
(X1, . .., Xp) > g (X1, . . ., хр, yJt ..., Уц),
(Ук • • •• yq)->g(x 1> ¦ • ->Хр’ 2/1- • Уд) было знакопеременным полилинейным отображением; тогда существует, и притом единственное, билинейное отображение / произведения GxH в N такое, что тождественно
f(x1A-.-Axp,y1A... Ayq) = g(xl, хр, ух, ..., уч)
(см. § 1, и0 2).
Замечание. Если E обладает конечной системой образую-
р
щих, число которых равно п, то ДE при р > п сводится к 0.
6. Внешние степени свободного модуля
Предложение 5 показывает, что линейное отображение z—>az
р
модуля )Е в себя знакопеременно и потому может быть записано
V р
в виде 0ог|), где яр — каноническое отображение &) E на ДЕ1=
V
= (<S>E)/N, а 0 — однозначно определенное линейное отображение
P г>
ДЕ1 на подмодуль U в образованный антисимметрическими
тензорами р-го порядка; мы будем называть 0 каноническим ото-р
бражепием ДE на U. Таким образом,
0 (X1 А ¦¦¦ А хр) —a (X1Ig). .. ® хр) для каждой последовательности (а^і^і^р изр элементов модуля F.
р
Отношение 0 (а)=0 для элемента и 6 ДЕ равносильно отношению U^N1IN; в случае, когда E — свободный модуль, имеем N1=N (теорема 1, а)), и значит, 0 — изоморфизм. Иными словами:
Предложение 6. Если А-модулъ E обладает базисом, то взаимно однозначное отображение, ассоциированное (гл. I, § 6, п° 4)
в
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
401
с эндоморфизмом z—>az модуля g)E, есть изоморфизм /\Е на подмодуль антисимметрических тензоров р-го порядка.
р-вектор часто отождествляют тогда посредством изоморфизма
0 (обратный к которому также именуется каноническим) с соответствующим аптнсимметрированным тензором.
V
В обозначениях п° 4, каноническое отображение модуля (R)E
V
на фактормодуль (<g)E)/N преобразует семейство (es)sgjj, являю-
р
щееся базисом дополнения KiV, в базис модуля ДЕ.
Рассмотрим, в частности, тот случай, когда модуль E имеет конечный базис (eji^j^n. Примем во всей остающейся части этой главы следующее соглашение: если — заданная серия
(гл. I, § 1, п° 2) элементов унитарного Л-модуля Е, то для каждого множества H, состоящего из р целых чисел интервала [1, га] CZ N, через хц будет обозначаться р-вектор XiiA--Axip, где (i/Ji^fcscp— строго возрастающая последовательность, образованная р элементами множества Н.
Это определение имеет смысл лишь при р >2; условимся для множества Н={г}, сводящегося к одному элементу, полагать хц=х\, а для пустого подмножества 0 интервала [1, л] считать х0=1 (единичному элементу кольца А).
При этих соглашениях, предшествующее замечание показывает, что справедлива
Теорема 2. Пусть E — модуль, обладающий конечным бази-
V
сом (eJijjj^n. Если р < га, то модуль ДE имеет своим базисом семейство (бд), где H пробегает множество ^ ^ подмножеств интер-
р
вала [1, га], состоящих из р элементов. Если р~> га, то модуль ДE сводится к 0.
Заметим, что, напротив, если E обладает бесконечным базисом, р
то ни один из модулей /\Е не сводится к 0.
26 н. Бурбаки
402 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
Следствие 1. Если E обладает базисом, состоящим из п эле-
P Tl— р
ментов, то модули /\Е и Д E, где 0 изоморфны.
П
В частности, Ae обладает базисом, образованным единственным элементом exAe2A ... Деп.
Можно показать, что при р ф п — р не существует канонического
р п—р
изоморфизма A E на Д Е, понимая под этим изоморфизм, зависящий
