Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 152

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 201 >> Следующая


В случае, когда 1 есть интервал f'l,p]CZN, множество E1 есть не что иное, как произведение Ep; тем самым для каждой подстановки а из симметрической группы @р и каждого элемента X = (#i)l<i<p из ЕР имеем OX = (j/j)i где У і = Ха-ці) (1< г<р).

Каждая подстановка ас—> ох произведения Ep определяет теперь таким же образом подстановку /—»о/ множества G всевозможных отображений произведения Ep в множество F; согласно (1), для каждого о?Ер имеем of (ж) = /(а'хж), т. е.

Ofix1, ..., xp) = f(xa(l),..., ха(р)). (2)

В этом параграфе мы ограничимся тем случаем, когда EwF являются унитарными модулями над коммутативным кольцом А с единицей. Из (2) следует тогда, что если / — полилинейное отображение Ep в F, то то же верно для ст/, какова бы ни была подстановка erg ©р. Иначе говоря, отображение /—>ст/ есть автоморфизм модуля Xp(E\F), оказывающегося тем самым наделенным группой операторов ©р.

Как мы знаем (§ I, п°п° 2 и 7), имеется каноническое взаимно однозначное соответствие между полилинейными отображениями
j ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 389

P

Ep в F а линейными отображениями &)Е в F. Если g — линей-

р

ное отображение (><) E в F, соответствующее полилинейному отображению /, то через og для каждой подстановки а € Bp будет

р

обозначаться линейное отображение (§)Е в F, соответствующее а/; таким образом, это отображение определяется условием

Og (X1 ® X2 ... ® хр) = ^ (ха(1) ® ха(2) ®. . . ® ха(р)). (3)

Og можно определить также, отправляясь от подстановки

р

р-й тензорной степени &)Е, с помощью способа распространения, который мы напомнили в начале этого п°. Действительно, так как

отображение (X1, х2, . . ., хр) —» xa-i ([) ® xa-i (2) ® . . . ® X^1 (р) Ev

P P

н<8) E полилинейно, то существует линейное отображение ^E в себя, которое Sibi обозначим z—>oz, такое, что

о (X1 ® X2 ® . . . ® Xv) = X0-! (1) ® Xa-! (2) ® . . . ® Xa-I (Р)

(§ 1, и°п° 2 и 7). Без труда проверяется, что определенный так

P P

па &)Е внешний закон (о, z)аз наделяет (??) і? группой операторов @р (гл. I, § 7, п° 2) и, в частности, что z—>oz есть

р

автоморфизм структуры Л-модуля в E (равно как и структуры

р

тензорного пространства в §§) Е\ см. § 4, п° 2). Из этого определения и формулы (3) вытекает теперь, что для всякого тензора р

г € (? E выполняется равенство

og(z) = g (O^1Z), (4)

в полном согласии с формулой (1).

Определение 1. Унитарный модуль M над коммутативным кольцом А называется связанным с симметрической группой ®р, f-.сли M наделен группой операторов @р (гл. I, § 7, п° 2) относительно внешнего закона (о, z)—> oz такого, что каждое из отображений z—> oz модуля M в себя линейно (и, значит (гл. I, § 7, предложение 1), является автоморфизмом структуры 4-модуля в M).
390

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. Ill, §5

Таким образом, модули Xp (Е; F), X ((? Е, F) и (^) E связаны с группой Sp относительно определенных нами внешних законом.

В случае, когда M — Л-модуль, связанный с группой Sp, в пел можно определить структуру унитарного левого модуля относительно групповой алгебры В группы Sp (гл. II, § 7, п° 9) над кольцом А; достаточно для каждого элемента t = 2 Ко

О

этой алгебры (Aag А) и каждого элемента z?AI положить t-z —

— 2 Koz; выполнение аксиом модуля без труда проверяется

О

(на основании линейности каждого отображения z—>az).

Тогда операторы t? В называются операторами симметрии на М; среди этих операторов, разумеется, фигурируют подстановки об Sp, линейными комбинациями которых с коэффициентами из А являются все операторы симметрии. Отметим, что структура Л-модуля в M получается путем сужения кольца операторов структуры 5-модуля в M до А.

Обратно, если Л/ — унитарный /У-модуль, то Л-модуль, получающийся путем сужения его кольца операторов до А, связан с группой lBp относительно внешнего закона (а, г) -- аг, получающегося путем сужения кольца операторов модуля M до Sp. Поэтому нет оснований различать понятия унитарного /У-модуля и Л-модул я, связанного с группой Sp.

Определение 2. Пусть M — А-модуль, связанный с симметри-. ческой группой Sp. Элемент z?M называется симметрическим, если az = z для всех a 6 Sp, и антисимметрическим *), если для каждого о g Sp имеем crz -- где в(Т — сигнатура подстановки о (гл. I, § 7, п° 1).

Множество всех антисимметрическнх (соответственно симметрических) элементов из M является подмодулем в M относительно его структуры 5-модуля; действительно, если az = EaZ (соответственно OZ = Z) для каждого OgSp, то для всех TgSp имеем о (xz) = о (вTz) = BxOz = B1EaZ = Ea (xz) (соответственно cr (tz) = (Т (z) =

*) В русской математической литературе вместо «антисимметрический» более принято говорить нососіїм.петрическші. — Перев.
I

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА

391

P

= Z = tz). Если M = (^) Е, то эти подмодули совпадают с тензорными

P

подпространствами (§4, пс 2) тензорного пространства (^) Е.

Предложение 1. Для того чтобы элемент z был симметрическим (соответственно антисимметрическим), необходимо и достаточно. чтобы XZ-Z (соответственно xz — — z) для каждой транспозиции (гл. I, §7, п° I) тб$р.
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed