Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом двумерную ограниченную задачу двух тел можно представить в виде гамильтоновой системы на алгебре е(3) (уравнения Кирхгофа, см. § 1 гл. 2) с гамильтонианом
H = Ім2 + (М,а>) + ?/(7).
(5.14) 218
Глава 2
Траектории, соответствующие реальным движениям, находятся на симплектическом листе, задаваемом соотношениями (М,^) = О, (7,7) = 1-
Для анализа системы (5.14) па интегрируемость мало пригодны известные до настоящего времени аналитические методы [91]. Поэтому воспользуемся численными методами, основанными на исследовании отображения Пуанкаре. На четырехмерном симплектическом листе исследуемой системы можно ввести систему канонических переменных. Одной из таких систем являются углы Эйлера и сопряженные им канонические импульсы. Другой системой канонических переменных являются переменные Андуайе Депри (L, G, I, g), применяемые в динамике твердого тела (§8, гл. 2).
Наиболее естественными кандидатами на интегрируемость являются случаи ньютоновского (U = -fc.tg?) и гуковского (U = Jtg2 в) потенциалов. В случае W = O эти системы вырождены и имеют «слишком» много интегралов.
Как показывают численные расчеты, проведенные для регуллризо-ванных уравнений движения, оба этих потенциала при ш ф 0 не приводят к интегрируемой системе (см. рис. 6).
Для гамильтоновой системы (5.14) остается открытым вопрос о существовании интегрируемых потенциалов, зависящих от расстояния до полюса. Пока ни одного такого потенциала не найдено. Неинтегрируемость ограниченной задачи приводит, вообще говоря, к отсутствию общей интегрируемости неограниченных постановок задачи двух тел на S2(L2t) или S3(Ls). Постановка задачи о существовании интегриру- § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве
219
емых потенциалов, зависящих от расстояния в системе двух тел, на двумерной сфере S2 принадлежит Е. И. Кугушеву.
Система с гамильтонианом (5.13) имеет четыре степени свободы и для ее интегрируемости не хватает еще трех независимых инволютив-иых интегралов. В силу симметрии относительно поворотов системы вокруг произвольной оси, проходящей через центр сферы, сохраняется вектор суммарного кинетического момента частиц
M = pi X qi + P2 X q2. (5.15)
Однако компоненты вектора не находятся в инволюции {Mi, Mj} = = SijkMk- Из них можно построить лишь два ипволютивпых независимых интеграла (например Mi, M2). Еще одного дополнительного интеграла в задаче Кугушева до сих пор пе найдено пи при одной зависимости потенциала U от расстояния (возможно, что он всегда отсутствует).
Существует, однако, простейший случай частной интегрируемости, при котором Mi = 0 (i = 1,2,3), и компоненты момента находятся в инволюции (см. п. 6).
5. Частные решения задачи двух тел на S2 и L2. Рассмотрим семейство частных решений задачи п тел на S2 [L2), которые являются аналогами относительных равновесий в задаче п тел на плоскости [4]. Зафиксируем некоторую ось z в R3 (M3) так, что уравнения сферы и псевдосферы будут соответственно Z2 +X2 +у2 =R2,z2—y2 — x2 =R2, и рассмотрим фиксированную конфигурацию n-тел, которая равномерно вращается вокруг оси z.
Предложение 2. Равномерно вращающаяся конфигурация п тел (положение относительного равновесия, системы) является частным решением тогда и только тогда, когда она является критической точкой приведенного (эффективного) потенциала
tt - л m2 Ueff-U--,
где M2 — величина момента системы относительно оси z, I — суммарный момент инерции системы относительно оси z.
Доказательство.
Перейдем в систему, равномерно вращающуюся с угловой скорос- 220
Глава 2
тью и; вокруг оси z. Функция Лагранжа в ней имеет вид
п п
+Sin2^ipi2) +W^ тгііфі sin2 oi - ueff для s2,
і=1 г—1
п п
l = І ті(ві2 + sh2 оіФі2) +ш^гтфі sh2 ві - ueff для l2.
і=1 і=1
Здесь і соответствует номеру частицы. Уравнения движения имеют вид
"1 2 dUef f
Шіві = 2mi sin2+ шгп'і sin2віфі--Q0 — ¦
OUeff
(5.16)
(5.17)
(sin2 вцрі + ШТПі sin2 ві)' =--Г,
v ' o<pi
Отсюда следует, что условие относительного равновесия
Si = ві = фі = фі = 0
эквивалентно условию экстремума для ueff. u
Для плоскости анализ относительных равновесий задачи трех тел был проведен Эйлером и Лагранжем, которые обнаружили коллинеар-ные и треугольные центральные конфигурации [4]. В искривленном пространстве также существуют аналогичные конфигурации, которые, однако, имеют существенные отличия (см. § 6). Рассмотрим здесь более простую ситуацию относительные равновесия в задаче двух тел.
Для краткости ограничимся рассмотрением стационарных конфигураций на s2 (на l2 анализ даже упрощается, так как отсутствует ряд интересных закономерностей, возникающих на s2).
По доказанному предложению 2 стационарные конфигурации являются критическими точками функции
Ueff = — ^(ші sin2 ві + m2 sin2 в2)ш2 — mim2 ctgO. (5.18)
где в — угол между телами. Исходя из уравнений
9U»ff = duQff = Q дірі дір2 § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве
221
находим, что tpi — tp2 = я\ то есть частицы во время движения должны
