Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
с -ф + Ч> в D Ф~<Р ¦ в
qo = H cos —?— cos 2 > fIi = R cos —2— Sln 2'
n • Ф + 1P в n ¦ Ф~ iP ¦ в
Q2=Rsm—cos Чз = Rsin 2 sin
з
где R2 = Yl Q2- Если обозначить R2 = г, то гамильтониан четырехмерно
ного гармонического осциллятора
з з
н = I Е>< + т E^ A =const (4-6)
« — О i-U
в новых координатах и соответствующих импульсах может быть представлен в виде:
V sm в J212
Глава 2
Координата ф, входящая в гамильтониан (4.7), является циклической, а поэтому рф является первым интегралом. Если положить р^ = О, то уравнение для энергии H = h системы (4.7) можно записать в виде
Выражение (4.8) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для трехмерной задачи Кеплера (при отрицательных энергиях). При этом координаты r,0,ip играют роль сферичеких координат в трехмерном евклидовом пространстве.
Пользуясь гномонической проекцией, .РСб'-регуллризацию можно провести для искривленного пространства. Однако, при этом вместо гармонического осциллятора получается более сложная динамическая система (см. § 2).
Замечание 1. ЙГ^-преобразование и преобразование Болина есть следствие алгебраической теоремы Гурвица утверждающей, что уравнение
ХІ + ХІ + ... + X2n^1 = (?0 + ¦ • • + q2N-lf
имеет билинейное ПО qi решение
Xj = a,jlm(}l(}m
только для следующих пар чисел (N, п) = (2, 2), (4,3), (8,5). Число N = 2,4, 8 связано с алгебрами комплексных чисел, кватернионов и октанионов. Общая форма преобразования Гурвица для N = 8 имеет вид
2,2.2,2 2 2 2 2 Xa = q0 + Qi + ?2 + Яз ~ Qi ~ Чъ ~ Qb ~ 1т-,
Xi = 2(q0q4 - qiqs - qzqe - q3qr), X2 = 2(q0qs - qxq4 - q2qT + qzqa),
X3 = 2 {qoqe + qiqr + q2qi — qtqs), X4 = 2(q0q7 - Qiq6 + q2gs + <Z3<?4).
Преобразование Болина получается из него в случае qi = q2 = <73 = qi = qs = = <7g — <?7 = 0, X2 = хз = X4 = 0. Для получения ЙГ^-преобразования необходимо положить qi — q2 — q4 — q7 — 0, X4 = 0.§ 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве
213
§ 5. Задача двух тел в искривленном пространстве
Рассмотрим задачу двух тел (материальных точек) в искривленных пространствах S3(Ls), движущихся в некотором потенциальном поле U(q\, q2) ((/1,(/2 — координаты точек на S3(L3)). В частном случае, потенциальная энергия U может зависеть от взаимного расстояния (измеряемого вдоль геодезической ) между двумя точками. В отличие от плоского случая, в искривленном пространстве не существует такой системы отсчета (связанной с центром инерции), в которой задача двух тел приводится к задаче о движении частицы в поле неподвижного притягивающего центра (в случае ньютоновского взаимодействия к задаче Кеплера). Как было уже показано, задача Кеплера в S3(Ls) является интегрируемой. Задача двух тел, взаимодействие которых аналогично ньютоновскому в S3 и L3, уже не будет являться интегрируемой.
1. Уравнения движения и первые интегралы. Как и выше, полагаем сферу S3 (пространство Лобачевского L3) стандартно вложенными в евклидово пространство R4 (пространство Минковского M4), {(/,(/) = (/о + q2 = R2 ((q,q) = (/о — Q2 = R2)- В избыточных канонических переменных qa,pa (а = 1,2 нумерует частицу с массой та) гамильтониан системы можно представить в виде (§ 1)
н = і (pi,pi) jqi.qi) - (pi.qi)2
2тоі <«і,«і> ,r1.
2 (5'1)
, 1 (P2,P2){q2,q2) - (Р2,дч) , TU, ,,
+ 0--1-;--г u ({Ч1-.Я2 ¦
2тг (?,?)
В случае зависимости потенциальной энергии от расстояния U = U((qi,q2)), где (qi,q2) = -R2Cosfli2 ((?,?) = R2ChO12).
По аналогии с динамикой материальной точки, уравнение движения которой можно представить на особой орбите алгебры е(3) (е(1. 3)) (см. § 1), представим уравнения задачи двух тел в виде гамильтоновой системы со скобкой Ли—Пуассона. Введем переменные
TTa = - РІЧа,
(5.2)
Lu = q„ X р„, а = 1, 2. (Нижний знак везде далее соответствует пространству Лобачевского).214
Глава 2
В этих переменных, как несложно заключить из рассуждений, приведенных ранее для одной материальной точки, уравнения движения можно записать как уравнения Гамильтона па прямой сумме алгебр е(3) ф е(3) (е(3,1) ® е(3,1)) с гамильтонианом
Я = ± тг2) + ^-(Д ± TT22) + Udquq2)). (5.3)
Коммутационные соотношения между переменными TTa,La задаются формулами
[Lai, Laj} — EijkLak, \Lai, 7Taj} — ^ijkTVак, \Lai, qaj} — ^ijkQafti
{^n.i,TTaj} = ±6ijkLak, {7г ai,4aj} = ±<Sij<7uo) {т«,'іав) = ±<fai)
{Lai,qa o} = 0, a =1,2; г = 1,2,3.
(5.4)
Как следует из (5.2), между La и 7Га выполнено инвариантное соотношение
g°La = qa X TYa, (La, тга) = 0. (5.5)
Эти соотношения задают сингулярную орбиту в каждом экземпляре е(4) (е(3,1)) и позволяют записать гамильтоновы уравнения движения
па прямой сумме алгебр Z(MbQ11) © Z(M2-Q2), где Ma = ^(La — 7га) (Ma = ^(La — ша)) с функцией Гамильтона
H = AMl+2ru2Ml+U{{qi-q2))- (5-6)
Уравнения получаются вещественными только для S3. (Комплексный вид уравнений в пространстве Лобачевского связан с невозможностью вещественного разложения ,чо(3,1)).
Отмстим также, что уравнения с гамильтонианом (5.6) могут быть получены при рассмотрении задачи о взаимодействии двух шаровых волчков. Такая задача рассматривалась в [17], в которой приведен пример интегрируемой системы, потенциал которой однако не может быть представлен как функция взаимного расстояния между телами.§ 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве