Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 69

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 144 >> Следующая


с -ф + Ч> в D Ф~<Р ¦ в

qo = H cos —?— cos 2 > fIi = R cos —2— Sln 2'

n • Ф + 1P в n ¦ Ф~ iP ¦ в

Q2=Rsm—cos Чз = Rsin 2 sin

з

где R2 = Yl Q2- Если обозначить R2 = г, то гамильтониан четырехмерно

ного гармонического осциллятора

з з

н = I Е>< + т E^ A =const (4-6)

« — О i-U

в новых координатах и соответствующих импульсах может быть представлен в виде:

V sm в J 212

Глава 2

Координата ф, входящая в гамильтониан (4.7), является циклической, а поэтому рф является первым интегралом. Если положить р^ = О, то уравнение для энергии H = h системы (4.7) можно записать в виде

Выражение (4.8) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для трехмерной задачи Кеплера (при отрицательных энергиях). При этом координаты r,0,ip играют роль сферичеких координат в трехмерном евклидовом пространстве.

Пользуясь гномонической проекцией, .РСб'-регуллризацию можно провести для искривленного пространства. Однако, при этом вместо гармонического осциллятора получается более сложная динамическая система (см. § 2).

Замечание 1. ЙГ^-преобразование и преобразование Болина есть следствие алгебраической теоремы Гурвица утверждающей, что уравнение

ХІ + ХІ + ... + X2n^1 = (?0 + ¦ • • + q2N-lf

имеет билинейное ПО qi решение

Xj = a,jlm(}l(}m

только для следующих пар чисел (N, п) = (2, 2), (4,3), (8,5). Число N = 2,4, 8 связано с алгебрами комплексных чисел, кватернионов и октанионов. Общая форма преобразования Гурвица для N = 8 имеет вид

2,2.2,2 2 2 2 2 Xa = q0 + Qi + ?2 + Яз ~ Qi ~ Чъ ~ Qb ~ 1т-,

Xi = 2(q0q4 - qiqs - qzqe - q3qr), X2 = 2(q0qs - qxq4 - q2qT + qzqa),

X3 = 2 {qoqe + qiqr + q2qi — qtqs), X4 = 2(q0q7 - Qiq6 + q2gs + <Z3<?4).

Преобразование Болина получается из него в случае qi = q2 = <73 = qi = qs = = <7g — <?7 = 0, X2 = хз = X4 = 0. Для получения ЙГ^-преобразования необходимо положить qi — q2 — q4 — q7 — 0, X4 = 0. § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве

213

§ 5. Задача двух тел в искривленном пространстве

Рассмотрим задачу двух тел (материальных точек) в искривленных пространствах S3(Ls), движущихся в некотором потенциальном поле U(q\, q2) ((/1,(/2 — координаты точек на S3(L3)). В частном случае, потенциальная энергия U может зависеть от взаимного расстояния (измеряемого вдоль геодезической ) между двумя точками. В отличие от плоского случая, в искривленном пространстве не существует такой системы отсчета (связанной с центром инерции), в которой задача двух тел приводится к задаче о движении частицы в поле неподвижного притягивающего центра (в случае ньютоновского взаимодействия к задаче Кеплера). Как было уже показано, задача Кеплера в S3(Ls) является интегрируемой. Задача двух тел, взаимодействие которых аналогично ньютоновскому в S3 и L3, уже не будет являться интегрируемой.

1. Уравнения движения и первые интегралы. Как и выше, полагаем сферу S3 (пространство Лобачевского L3) стандартно вложенными в евклидово пространство R4 (пространство Минковского M4), {(/,(/) = (/о + q2 = R2 ((q,q) = (/о — Q2 = R2)- В избыточных канонических переменных qa,pa (а = 1,2 нумерует частицу с массой та) гамильтониан системы можно представить в виде (§ 1)

н = і (pi,pi) jqi.qi) - (pi.qi)2

2тоі <«і,«і> ,r1.

2 (5'1)

, 1 (P2,P2){q2,q2) - (Р2,дч) , TU, ,,

+ 0--1-;--г u ({Ч1-.Я2 ¦

2тг (?,?)

В случае зависимости потенциальной энергии от расстояния U = U((qi,q2)), где (qi,q2) = -R2Cosfli2 ((?,?) = R2ChO12).

По аналогии с динамикой материальной точки, уравнение движения которой можно представить на особой орбите алгебры е(3) (е(1. 3)) (см. § 1), представим уравнения задачи двух тел в виде гамильтоновой системы со скобкой Ли—Пуассона. Введем переменные

TTa = - РІЧа,

(5.2)

Lu = q„ X р„, а = 1, 2. (Нижний знак везде далее соответствует пространству Лобачевского). 214

Глава 2

В этих переменных, как несложно заключить из рассуждений, приведенных ранее для одной материальной точки, уравнения движения можно записать как уравнения Гамильтона па прямой сумме алгебр е(3) ф е(3) (е(3,1) ® е(3,1)) с гамильтонианом

Я = ± тг2) + ^-(Д ± TT22) + Udquq2)). (5.3)

Коммутационные соотношения между переменными TTa,La задаются формулами

[Lai, Laj} — EijkLak, \Lai, 7Taj} — ^ijkTVак, \Lai, qaj} — ^ijkQafti

{^n.i,TTaj} = ±6ijkLak, {7г ai,4aj} = ±<Sij<7uo) {т«,'іав) = ±<fai)

{Lai,qa o} = 0, a =1,2; г = 1,2,3.

(5.4)

Как следует из (5.2), между La и 7Га выполнено инвариантное соотношение

g°La = qa X TYa, (La, тга) = 0. (5.5)

Эти соотношения задают сингулярную орбиту в каждом экземпляре е(4) (е(3,1)) и позволяют записать гамильтоновы уравнения движения

па прямой сумме алгебр Z(MbQ11) © Z(M2-Q2), где Ma = ^(La — 7га) (Ma = ^(La — ша)) с функцией Гамильтона

H = AMl+2ru2Ml+U{{qi-q2))- (5-6)

Уравнения получаются вещественными только для S3. (Комплексный вид уравнений в пространстве Лобачевского связан с невозможностью вещественного разложения ,чо(3,1)).

Отмстим также, что уравнения с гамильтонианом (5.6) могут быть получены при рассмотрении задачи о взаимодействии двух шаровых волчков. Такая задача рассматривалась в [17], в которой приведен пример интегрируемой системы, потенциал которой однако не может быть представлен как функция взаимного расстояния между телами. § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed