Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Точки либрации на сфере S2.
а) Коллинеарные точки либрации. Зафиксируем начало отсчета азимутального угла ip от меридиана, расположенного в плоскости, проходящей через притягивающие центры. В этом случае для кол-линеарных точек либрации ip = 0,7Г. Из симметрии задачи следует,
что , поэтому для нахождения широты точек либрации необ-
Of v= О,TT
ходимо найти критические точки функции
2
/(0) = U, = - V 7Ші ctg |0 - 0,1 - Ы2и>2 sin2 0.
Ю — 0. 7Г ^ ?
г=1 § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 233
Выполняя дифференцирование, находим, что критическим точкам соответствуют корни уравнения
(7.5)
где в Є (—7г; ж).
Уравнение (7.5) может иметь 2, 4 или 6 корней (в зависимости от параметров). Схематично их положение на сфере показано на рис. 15. Выбором масштаба, приняв длину дуги между «тяжелыми» телами за единицу, можно положить R = і (а — угол между «тяжелыми» телами). Тем самым мы ограничиваем область изменения параметров до прямоугольника {тг/ші Є [0,1], а Є [0,7г]}. Рассмотрим отдельно случаи « < ж/2 и а > ж/2, которым (см. § 6) соответствуют различные типы движений.
а < 7Г/2.
При малых а существует шесть точек либрации Li, L11, L2, L12, L3, L13. Причем при устремлении а к нулю (R —> схз), точки L1, L2 и L3 стремятся к нулю как а. и переходят в эйлеровские точки либрации. Точки L2 и L13 стремятся к экватору как ж/2 — а3, а точка L1 уходит на южный полюс как а.
^R2U2 sintf cos в =7$^
Uli
sin(fl - ві) Isiii3 (O-Oi) І 234
Глава 2
На рис. 16 приведена зависимость положений точек либрации от а при шг/ті = 0.2. Как видно из рисунка, 6 точек либрации существует в интервале (у. от 0 до о:*.
При а = точки L2 и L2 сливаются и исчезают. Таким образом, в промежутке а Є (ctl,a2) существует 4 точки либрации. В точке а2 происходит исчезновение второй пары точек либрации и при а Є (Q^a3) существуют только 2 эйлеровских точки либрации. В точке а* вновь образуется пара точек L3, L3 и затем вплоть до а = тг/2 существует 4 точки либрации. Зависимость критических точек Ci2 и Ct3 от соотношения масс гп2/гаі представлена на рис. 17.
Здесь в области I существует 6, в областях II, IV — 4, а в области III 2 точки либрации.
OL > 7Г/2.
При а больше 7г/2, но меньше чем некоторое критическое значение «!(шг/таї) кроме двух центральных точек либрации в системе наблюдаются еще две точки либрации — пара точек, ближних к легкому телу. При а же больше чем al(m2/mi) возникает еще одна пара точек. Обе эти точки будут «полюсными» (т. е. вместе с точкой і^лежат в промежутке между отталкивающими частями потенциалов «тяжелых» тел (рис. 15)). Зависимость положений точек либрации от а в промежутке (тг/2, тг) показана на рис. 18. Критическое значение о?! может быть, в зависимости от отношения масс, как меньше так и больше чем ctg, что видно из рис. 19.
Кривые al(iri2/mi) и al(m2/mі) на этом рисунке ограничивают области равного количества точек либрации. В областях II, IV существует 4 точки либрации, а в областях I, III — 2 и 6 соответственно.
ш2/Tn1 Рис. 17 § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 235
Рис. 18
Ь) Неколлинеарные точки либрации.
а < 7Г/2.
Нсколлипсариыс точки либрации определяются системой уравнений:
2
U2R2 cos 0 = 7 ^ rrii
COS в І
к
Esin ві „ Wi^1— = о,
i=1 Sin Qi COS «2 sin 01 — COS «1 sin 02
з
SlIl ft;
Зя/4
cos0
sm a
(7.6)
II
0.4 0.6 0.8
Tnym1
Рис. 19
расстоянию между центрами, и
где сц — угловое расстояние между легкой частицей и г-ым телом. При rrii = «г2 система (7.6) имеет решение, ДЛЯ которого Qi = Q2, ОДНЭКО В отличие от плоского случая Cti ф а -при т 1 ^ ПІ2 соотношение Cti = с*2 не выполняется (т. е. точки лежат па разных расстояниях от центров).
Правая часть первого уравнения системы (7.6) всегда больше нуля. Отсюда следует, что все лагранжевы точки всегда лежат в верхней полуплоскости. Кроме того, в силу симметрии задачи каждой точке L соответствует парная точка L' симметричная ей относительно плоскости, 236
Глава 2
в которой лежат массивные тела и ось вращения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь одной полусферы <р ? [0,7г].
2л!Ъ\ 9 к!Ъ\
II
3 5.
4 4
•2
О тг/6 в ж! 3 к!2
тг/т=и.6
Рис. 20
На рис. 20 изображены кривые на развертке сферы, по которым движутся точки либрации при увеличении а. Точками с одинаковыми цифрами показаны положения, соответствующие одинаковым значениям а.
При малых значениях а существует одна точка либрации близкая к северному полюсу. Затем при увеличении а в точке 2 рождается две точки либрации, одна из которых сразу уходит на главный меридиан и сливается с эйлеровской точкой либрации, меняя при этом ее характер с седла функции U на минимум. При некотором критическом значении отношения масс точка 2 пропадает, и лагранжева точка либрации рождается прямо из эйлеровской. После этого две оставшиеся лагранжевы точки либрации движутся по кривой I и при некотором критическом значении ос — ос* сливаются и исчезают.
