Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
U = —71 cth 6\ — 72 cth 02.
(3.7) 204 Глава 2
«Углы» определяются следующим образом: ch0a = (q,ra} = <f<fa — — (q, ra), где q,ra радиус-векторы частицы и а-того центра соответственно, {•, •) — скалярное произведение в пространстве Минковского. Если ввести координаты (x,y,z,ip) по формулам
5° = У> Q1 = xi q2 = zcostp, qz=zs\mp. (3.8)
то координата ip будет циклической. Исключая ее, получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского L2: у2 — х2 — z2 = 1, функция Рауса которой
2
а приведенный потенциал
где M имеет тот же смысл, что и в задаче о сфере.
Псевдосферические координаты являются корнями уравнения
/0=-^-^4-^= 'Г^Г"!- (3-1")
w — ? w — а w w(w — а )(w — ? )
Координатные линии ? = const, rj = const получаются пересечением поверхностей
2 2 2 1
у' -х' -Zi = 1,
ж2 у2 Z2
а2-Є ?2~e Є'' (3-11)
У2 _ X2
"т~ п •
?2 +rf a2 + rj2 rj2
Находя вычеты функции f(w) в точках a2,?2,{) из (3.10), и извлекая корни с учетом знаков, получаем
у/(а2 - ЄХ"2 + V2) X = Sgn(,T)---,
у V(?2-e)(?2+v2)^ (ЗЛ2)
Z=
a? § 3. Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве
205
Здесь — а. <?<».,()< г) < оо.
Легко проверяется, что новые координаты ортогональны на псевдосфере (в смысле метрики Лобачевского), и гамильтониан имеет вид
1 (а2-Є)(Р2-Є),п 2 («2 +V2)(?2 +V2).п 2 j тт
H=o\ -^2-« + -^2-PV j+"*-
Приведенный потенциал с учетом знаков в областях х < 0 и х > О представим в форме
тт _ (li+l2)V(a2 + V2)(?2 +^j2)
' (3.13)
88п(Ж)(7і-72)у/(а2-Є)(/32-^) M2a2?2(?~2 + 7]~2)
e + rf 2 (Є+rf)
Также как и в предыдущем случае переменные разделяются и уравнения интегрируются в квадратурах.
2. Задача Лагранжа в пространстве Лобачевского. Известно, что задача Эйлера о двух неподвижных центрах в трехмерном пространстве имеет интегрируемый предельный случай, когда один из зарядов относится на бесконечность, при этом величина заряда также бесконечно увеличивается. В пределе частица движется в постоянном однородном поле и поле точечного заряда. Эта задача впервые рассматривалась Лагранжем. Ее анализ содержится в книге [36] в связи с исследованием классической модели движения электрона в атоме, помещенном в однородное электрическое поле (эффект Штарка).
Выполним аналогичный предельный переход для пространства Лобачевского (для сферы такого предельного случая пе существует в силу ее компактности). Пусть два точечных заряда 7і, 7г в пространстве Лобачевского L3 расположены в точках п = (1,0,0, 0),r2 = (ch ?, sh 0,0). Потенциальная энергия частицы имеет вид U = Ui + Lr2. В данном случае
о"
Ui = — 71 etil в і = -71
U2 = -J2 ctli в2 = -J2
vV)2-i'
q° ch ? — q1 sh ? q°chC-q1 sh?)2 - 1 206
Глава 2
Устремляя ? к бесконечности и переопределяя величину заряда по закону 2 ехр(—2^)72 —> 72 получим следующий вид поля «бесконечно удаленного» заряда — аналог однородного поля в искривленном пространстве:
U2 = -72---O-
(Q0-Q1)2
Введем в пространстве координаты по формулам (3.8). Переменная Lp является циклической. После редукции Рауса получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского: у2 — х2 — Z2 = 1 в потенциальном поле
(ЗЛ4)
Для нахождения системы координат, в которых переменные разделяются, выполним предельный переход для псевдосфероконических координат на плоскости Лобачевского, введенных ранее, как пересечение поверхностей (3.11). Новая система поверхностей имеет вид
2х(у-х) =іл2(у-х)2 -4,
I'
2x{y-x) = v2{y-xf+ (ЗЛ5)
V
у2 - X2 - Z2 = 1,
а соответствующие им координаты ?,v изменяются в пределах /і, Є (0,эо), V Є ( — 1.1). Координаты x,y,z выражаются через \i,v по формулам:
Д. = 1 ^ ~ ^
Va-^2Hi+м2)'
(зла)
і
У - X
v/(i -^2HI + //2) § 3. Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве
207
Функция Гамильтона в новых переменных имеет вид ц + и
+ T1 + + 72(,2 + ^2) + ^V' + О
(3.17)
Чтобы разделить переменнные представим множитель стоящий перед скобками в виде
(1-/,2)(1+/х2)
-і
/Г + ІҐ \ 1 — V 1+ ? J
и система снова приводится к лиувиллеву виду.
3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя. В этом пункте показана интегрируемость задачи о движении частицы в поле магнитного монополя в искривленном пространстве. Модель магнитного монополя для евклидова пространства использовалась А.Пуанкаре для описания движения заряженных частиц вблизи магнитных полюсов Земли. Пуанкаре показал, что задача является интегрируемой, а траектории представляют собой геодезические на двумерном конусе. Заметим, что более сложная задача — о движении заряженной частицы в поле магнитного диполя (задача Штермера) уже не является интегрируемой как в случае плоского, так и для искривленного пространства.
Получим аналог поля магнитного монополя для пространств постоянной кривизны. Тензор электромагнитного поля в пустом пространстве удовлетворяет уравнениям Максвелла
d„F?l + d?Fin + D1Fnfl = 0,
d?(V=gF°?) = 0, (o- = ^), (ЗЛ8)
где НйЪ/зН — метрика пространства-времени, a,?, 7 = 0,...,3, g — определитель этой матрицы.
