Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 21 показаны области равных количеств точек либрации. В области IV лагранжевых точек либрации нет, а в областях I, II и III — 1, 3 и 2 точки соответственно.
а > 7Г/2.
Значениям а > ж/2 на рис. 20 отвечает кривая II. При некотором критическком значении а в системе рождается пара лагранжевых точек либрации. Одна из которых при увеличении а стремится к глав- § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 237
а
Рис. 21
ному меридиану и сливается с центральной эйлеровской точкой*. При дальнейшем увеличении а оставшаяся точка либрации двигается к экватору. Таким образом в области V (рис. 21) точек либрации нет, а в областях VI и VII — две и одна соответственно.
3. Точки либрации на плоскости Лобачевского. Для плоскости Лобачевского L2 в уравнениях (7.5) и (7.6) следует заменить тригонометрические функции гиперболическими. Анализ полученых таким образом уравнений показывает, что при всех значениях параметров существует 3 эйлеровские и 2 лагранжевы точки либрации, которые при R —> ос переходят в классические точки либрации.
Наличие кривизны пространства в данном случае приводит лишь к смещению положений точек либрации относительно их положения на плоскости. Качественное же изменение картины в случае S2 является результатом сочетания компактности пространства и его кривизны.
4. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс. Рассмотрим отдельно случай, когда массы «тяжелых» частиц равны. При этом, в силу дополнительной симметрии, анализ поведения точек либрации можно провести аналитически.
Случай S2. Положив в (7.6) mi = ш,2 и как следствие \в\\ = \в2\ получим, что cti = ct2 =Qо- Таким образом, система (7.6) сводится к уравнению от одной переменной
COS Qo sin3 Q0 = С, (7.7)
где С = sin3 a cos2 — константа, зависящая от а. Функция в левой
"Выше мы рассматривали одну полусферу, поэтому следует учитывать, что на самом деле происходит слияние не двух, а трех точек — двух лагранжевых и одной эйлеровской. 238 Глава 2
части уравнения (7.7) имеет максимум при «о = тг/3 со значением
о AJ
С* = . Таким образом существует три возможности:
1. С (а) > С* — лагранжевы точки отсутствуют:
2. С (a) = C* — одна лагранжева точка;
3. С (а) < С* — две лагранжевы точки (как и выше рассматриваем одну полусферу).
Очевидно, при достаточно малых а выполнено третье условие, и существует две точки Лагранжа. Устремлял в уравнении (7.7) а —> О (R —> оо), для двух его решений получим
CtQl Ct, CtQ2 —У 7г/2.
Рис. 22
Таким образом, одна точка в пределе становится классической точкой Лагранжа, а вторая при этом стремится к экватору. На рис. 22 показана зависимость положения точек либрации от а. При увеличении а от нуля до а* две лагранжевы точки сближаются и в конце концов сливаются.
Решая уравнение
sill3 a cos2 ^=C*
(7.8) § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 239
получим два критических значения а* и Ci2- При а = а\ = 0.81487...
точки либрации сливаются и исчезают в точке (в* = arccos ( C°S ) = У V VcosaJ/2/
= 0.9949 и 57°, ip* = а при а = = 1.8457... в точке
(в** = arccos( C0S) = 0.5945 и 34°, м** = рождается новая па-V COSQ2 ?'
pa точек либрации. Как видно на рис. 22 в промежутке а Є (O^a2) лагранжевых точек либрации нет. При увеличении « после рождения пары точек при а = а.2 одна из точек уходит на северный полюс и при
а = = arccos^-^= — I^ = 1.8680... сливается с эйлеровской точкой либрации. Заметим, что уравнение (7.7) при этом имеет два корпя, однако для одного корня не выполнено условие существования точки (qi,Q2) на сфере:
ICt2 — а\ < cti < |arccos(cos(ct2 + а))|.
При дальнейшем увеличении а до 7г оставшаяся точка либрации стремится к экватору.
а—а.
Случай L2. Для пространства L2 в случае равенства масс аналог системы (7.6) сводится к уравнению аналогичному (7.7)
ch cto sli3 q0 = С, (7.9)
где С = sh3 q ch2 — константа, зависящая от а. Однако в отличие от
Li
сферического случая уравнение (7.9) имеет при любых а лишь один корень, причем это решение «о(«) всегда меньше а. При малых « «о —> Щ 240
Глава 2
а при больших «о ^ а —і In 2. Ha рис. 23 показана зависимость (а —«о) от а.
5. Малое отклонение от случая равных масс. Проследим асимптотическое поведение точек либрации при примерно равных массах. То есть полагаем mi = т. т2 = т + Sm.
Случай S2. Можно показать, что при указанных выше условиях смещения положений равновесия двух тел задается системой
01 = § + 8Є,
02 = -4+ Se, (7Л0)
XP tg а Sm
дв =
Положим Cti = ct0+<5ct;. Подставив эти соотношения в систему (7.6)
с
с учетом уравнений (7.7) , в первом порядке по получим
Ctl = CtO + <5 Cto, Q2 = Qo - (Sa0,
• 2 Q (7-11)
sin = tg а0 . г„ ^ от
Sa0 = —т.--ffr-
6 cos а т
При Q < 7г/2, очевидно, Jao > 0 для любого ао, так как при равенстве масс Qo < 7г/2. Следовательно, при увеличении массы одного из тел лагранжевы точки смещаются к более массивному телу.
При Q > 7г/2 — Jcto < 0 и лагранжевы точки смещаются к более легкому телу.
