Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
оставаться в одной плоскости (на одном меридиане) по разные стороны
от оси z (см. рис. 7).
В этом случае в = Oi + O2- С учетом
dUcf г dUef f
—- = = 0, находим уравнения,
Oipi Oip2
задающее возможные углы
TOi Sill 01 COS^iW2 — 7 Jl2 sin в I Cose2W2 —
I5 O2
Triim2
sin2 (0i +O2)
mim2 sin2 {ві +O2)
= О,
= 0. (5.19)
ml/ Xj e2/ ^m2
Рис. 7
Заметим, что при в < ж/2 получается конфигурация, когда более массивное тело движется по меньшему радиусу (при уменьшении кривизны эта конфигурация переходит в обычное частное круговое движение двух тел на плоскости).
При больших взаимных расстояниях в > ж/2 более массивное тело движется по большей окружности. Данному решению не соответствует никакая конфигурация в плоском случае и в пространстве Лобачевского L2.
Отметим, что вопрос о существовании замкнутых орбит в задаче двух тел на S2(L2) был поставлен в [269]. Частичным ответом на этот вопрос является
Предложение 3. Рассмотренное выше частные решения являются единственными частными решениями задачи двух тел на сфере, для которых остается постоянным расстояние между телами.
Доказательство.
Запишем уравнение движения задачи двух тел па S2 в форме уравнений Гамильтона на алгебре е(3)фе(3). Компоненты кинетических моментов Li и L2 и избыточные координаты х = х2, хз) у = (уі,у2,уз) двух тел коммутируют между собой следующим образом
{Lu, Lij} = SijkLlk, [Lli, xij} = SijkXik, {xu,xij} = О, {L2i,L2j} = SijkL2k, {L2i, х2 j} = SijkX2k, {x2i,x2j} = 0, (5.20) {Lu,L2j} = {Lu,x2j} = {L2i,xij} = {xii,x2j} = 0,222
Глава 2
а функция Гамильтона имеет вид
Н = + + г = х-у- (5-21)
Реальное движение происходит па фиксированном уровне функций Казимира структуры (5.20):
х2 = у2=1, (LbX) = (L25y)=O. (5.22)
Система с гамильтонианом (5.21) имеет векторный интеграл полного момента M = L1 + L2. Им можно воспользоваться для уменьшения числа уравнений. Действительно, введем новые переменные
M = L1+L2, N= W2Ll~WlL2, m = m1+™2. (5.23) Уравнения движения примут вид
N = V(|r|)x X у,
X= ^x X M+^xxN, (5.24)
у= ^yxM-^yxN,
1 дУ
IrI ^lr
В уравнениях (5.24) M является постоянным вектором. В новых переменных первые интегралы системы запишутся в виде
2 2 -і x = у = 1,
TO1 (х, М) + m(x, N) = 0,
т2(у,М) + m(y,N) = 0, (5-25)
^N2 + f/(|r|) = E = const,
2/i 4 " mi + m2
В плоском пространстве соответствующая замена приводила к разделению движения центра масс и движения вокруг центра масс точки приведенной массы ?. На S2 полного разделения не происходит и кинетический момент M входит в уравнения (5.24) в качестве параметра.
где У(|г|) =§ 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве
223
Дифференцируя, в силу системы (5.24), условие неизменности расстояния между частицами (х, у) = cos в = const с учетом интегралов (5.25), получим следующие соотношения
(х,у) = const, (х, у X N) = О,
1 о о (5-26)
±N2(x,y) + V(|r|)(x X у)2 + ^(х,М)(у,М) = О,
(х, M X N) = 0.
Из второго и четвертого уравнений (5.26) следует, что векторы х, у, M и N лежат в одной плоскости. Выразив M,N через х,у по формулам
(М,х) -cosfl(M,y) | (М,у)-сов0(М,х)
IVl — ^ X -+- п У*
sin в sin в
_ (N, х) - cos A(N, у) (N, у) - cos A(N, х)
~~ rTл Х ^ r^ia
Sin в Sin в
после подстановки в (5.25) и (5.26), получим соотношения (М,х) = = const, (М, у) = const. Таким образом частицы должны вращаться по окружностям вокруг некоторой оси, определяемой вектором М, оставаясь в одной плоскости с этой осыо. ¦ Между параметрами M и в, задающими стационарную конфигурацию, существует связь, которая в случае ньютоновского потенциала U = - Jrnim2 CtgA имеет вид
M2 = lJm3(mi+m2-m3) ^ ^ = / ; + ^ + ^ ^ ^ 2d Ol -Г» /) 01П оа ' V
(5.28)
Как несложно заметить, частные решения на S2, для которых в = const, образуют трехпарамстрическос семейство (их можно характеризовать либо компонентами вектора М, либо направлением оси, вокруг которой вращаются частицы и взаимным углом в).
В плоском случае соответствующее семейство является четырех-параметрическим, так как наряду с вектором полного импульса р, ха-224
Глава 2
рактеризующего движение центра масс и полным моментом М, относительно центра масс, остается свободный параметр, определяющий прямую па плоскости, вдоль которой движется центр масс системы.
6. Задача двух тел при нулевом суммарном моменте. Столкновительные траектории. Уравнения (5.24) удобно использовать для интегрирования задачи двух тел при M = O (см. п. 4). В этом случае они упрощаются
N = V(H)X X у,
J^.
Wl1 '
X = -J-X X N.
(5.29)
Соотношения (5.25) также имеют более простой вид
X
2 _ ,,2
у2=1, (х, N) = (у, N) = 0. (5.30)
хху
Из (5.30) следует, что N = INIn, где n = ---. Дифференци-
|хху|
руя вектор п в силу системы (5.29), получим n = 0, то есть два тела двигаются по сфере в плоскости, проходящей через центр сферы (по меридиану). Это задача двух тел на окружности. Для ее анализа составим функцию Лагранжа, взяв за обобщенные координаты углы O1 и O2 на этой окружности.