Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
215
Несложно обобщить предыдущие рассуждения на случай произвольного числа точек (или взаимодействующих волчков) и написать уравнения на прямой сумме алгебр е(4) (е(3,1)).
Так как функция Гамильтона (5.3) инвариантна относительно группы движений S3(Ls), которая совпадает с 50(4)(50(3,1)), суммарный кинетический момент двух тел сохраняется
TY = 7Гі + 7Г2 = const, L = L1 + L2 = const. (5.7)
Эти интегралы не инволютивны, однако, всегда имеется четыре независимых ипволютивпых интеграла (например, пз, 7Г2, L3, L2). Для рассматриваемой задачи, обладающей шестью степенями свободы, для полной интегрируемости не хватает еще одного дополнительного интеграла. В общем случае этого интеграла не существует, хотя это строго и не доказано.
2. Инвариантные многообразия. Непосредственное изучение пространственной задачи двух тел довольно сложно, поэтому естественным является (аналогично плоскому случаю) нахождение инвариантных подмногообразий системы и изучение динамики на них. Исследование системы на инвариантном многообразии (например, ее неинтегрируемость и стохастичность на нем) позволяет сделать соответствующие выводы для всего фазового пространства (хотя бы на физическом уровне строгости).
Если в задаче п тел на R3 инвариантными многообразиями являются плоскости, то для задачи п тел в искривленном пространстве многообразия являются сферами S2 (псевдосферами L2).
Действительно, справедливо Предложение 1. Если потенциальная энергия системы взаимодействующих материальных точек в S3(Ls) зависит лишь от взаимного расстояния между точками, то для нее существуют инвариантные многообразия, являющиеся сферами S2 (псевдосферами L2). При этом через каждую точку пространства S3(Ls) проходит трехпараметричес-кое семейство этих многообразий.
Дадим набросок доказательства этого утверждения. Действительно, запишем уравнение движения а-той точки в избыточных координатах
maqa = - д--AaGga,
OQa
(5.8) 216
Глава 2
где G = diagf 1,1,1,1) или G = diag(l, —1, —1, —1) в зависимости от метрики объемлющего пространства, Aa — неопределенный множитель Лагранжа. Зафиксируем некоторый четырехмерный вектор ? в K4 (Mi) и зададим многообразие N в пространстве координат и скоростей в виде
(для L3 вектор ? должен лежать вне конуса — q2 = 0). Непосредственным дифференцированием соотношений, задающих N вдоль траекторий системы (5.8) проверяется, что N является инвариантным многообразием. При этом траектории системы лежат в гиперплоскости
(?, q) = 0, которая пересекается с S3(L3) по подмногообразию S2(L2)m
¦
Очевидно также, что не все траектории первоначальной системы на S3(L3) принадлежат найденным инвариантным многообразиям. Для этого достаточно рассмотреть движение по геодезическим U = O на S3(L3). траектории которых будут «скрещиваться», аналогично прямым в случае плоского пространства К3.
3. Ограниченная задача двух тел. В евклидовом пространстве K3 существует предельный переход в задаче двух тел, при котором масса одного из тел стремится к бесконечности, а энергия взаимодействия остается конечной. При этом предельной задачей является задача Кеплера, так как существует инерциальная система отсчета, связанная с «массивной» частицей.
Рассмотрим аналогичный предельный переход на S3(Ls). Лагран-жевы уравнения движения двух тел можно записать в виде (5.8)
Оставляя потенциальную энергию U конечной и переходя к пределу ттц —> оо, получаем уравнения движения в виде
N = {qa,qa: (L,qa) = 0, <?,$„)= 0},
?2 =
?1 =
(5.9)
?1 = -AiGq-i,
<?2 = -I^ - A2G52.
(5.10) § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве
217
Из уравнений (5.10) следует, что первая частица движется свободно (по геодезической), а вторая частица движется в поле первой.
Если перейти в систему отсчета, связанную с первой частицей, то получается задача о материальной точке, движущейся под действием неподвижного центра и гироскопических сил. Функция Лагранжа для такой системы имеет вид
L=^q2 + і ^2u?vq?q„ + \ ^aqau??q? - F(q), (5.11)
?-.V
где LO = ||k>j,-|| — матрица угловой скорости системы отсчета (см. §7). В данном случае иг Є SO(4) для S3 и иг Є 50(3,1) для L3.
4. Ограниченная задача двух тел на S2. Наличие инвариантных многообразий в общей задаче двух тел позволяет также рассматривать ограниченную постановку задачи Iia них. Рассмотрим более подробно компактный случай — двумерную сферу.
В ограниченной задаче на S2 «массивная» частица движется по некоторому меридиану (движение «легкой» частицы не оказывает на нее влияния). В системе отсчета, в которой она неподвижна (и находится в северном полюсе) функция Лагранжа «легкой» частицы имеет вид
L = ^q2 + (q,w X q) + ±(u> x q)2 - *7(q), (5.12)
где ш — постоянный вектор угловой скорости системы отсчета, связанной с первой частицей.
Переходя к гамильтонову формализму с учетом связи q2 = 1 получим функцию Гамильтона
Н=\{ P2 - (Р, q)2) + (Р X q, ы) + Щ q), (5.13)
Введем новые переменные (М,7) при помощи отображения Т*К3 — —> е(3), задаваемого формулами M = q х р, 7 = q (см. §§ 6,7 гл. 2).
