Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
В пространстве постоянной положительной кривизны (S3) в некоторой системе отсчета метрика пространства-времени имеет вид
ds2 = с2dt2 - R2(df)2 + sin2 0(dip2 + sin2 ^#2)), (3.19) 208
Глава 2
а для пространства постоянной отрицательной кривизны (L3)
ds2 = c2dt2 - R2(d02 + sh2 0(dip2 + sin2 ipd-ф2)). (3.20)
Как и выше (§ 1 гл. 3), латинские буквы соответствуют только пространственным индексам — i,j,k,... = 1,2,3, a g* обозначает пространственную часть метрики со знаком минус. Решение, соответствующее стационарному магнитному полю в таких пространствах будем искать в виде
F0i = 0, \/g*Fij = eijkdkf, (3.21)
здесь — антисимметричный тензор Леви—Чевиты. Подстав-
ляя (3.20) в (3.18), находим уравнение для неизвестной функции f(x)
Ok(Vfrlfdif) = о, (3.22)
которое совпадает с уравнением Лапласа—Бельтрами (см. § 2). Магнитному монополю соответствует решение уравнения (3.22) с особенностью, зависящее только от в:
/ = 7 ctg в + а для S3, (3.23)
либо
f = J cth в + а для L3. (3.24)
Для составления уравнений Лагранжа—Эйлера необходимо найти векторный потенциал из соотношения Fij = OiAj — djAi. Этому уравнению удовлетворяет потенциал вида
A0 = 0, Atp= 0, Ail=JRcosip. (3.25)
Таким образом, функция Лагранжа системы для S3 равна
L = і ((92 + sin2 в(ф2 + sin2 ірф2)) - Ц^ф cos (р, (3.26)
а для L3
L = i((92 + sh2 в(ф2 + sin2 ірф2)) - Ц^ф cos <р. (3.27) 3. Кватернионная регуляризация Кустаанхеймо—Штифеля 209
Чтобы установить законы сохранения, удобно записать уравнения движения в избыточных координатах <7°,q = (q1, q2, q3) (1-І)- Представив в них функцию Лагранжа и обозначив через Л неопределенный множитель, учитывающий связь (q0)2 ± (q, q) — Л2, получим уравнения движения
q
здесь |q|2 = (q,q).
Нетрудно проверить, что трехмерный вектор момента
M = qxq+e^A (3.29)
является векторным первым интегралом. Для его компонент справедливы стандартные коммутационные соотношения {Mi, MjJ =Sijf1Mf1.
Из (3.29) следует, что траектория системы расположена на двумерной инвариантной поверхности, определяемой уравнением
При подходящем выборе сферических (псевдосферических) координат это уравнение приводится к виду ip = щ = const. Рассматривая движение на такой инвариантной поверхности, получаем следующую функцию Лагранжа
Ь=\(в2+ sin2 щф2) - ^ cosіроф. (3.30)
(Для L3 необходимо заменить в (3.30) sin2 на sh2). Поскольку координата ф циклическая и энергия сохраняется, уравнения движения интегрируются в квадратурах.
§ 4. Кватернионная регуляризация
Кустаанхеймо—Штифеля в небесной механике
В качестве одного из применений кватернионов, которые уже использовались в динамике твердого тела (§2 гл. 2), рассмотрим регу-
eyR. q
|q|
(3.28)
= -Aq0. 210
Глава 2
ляризацию пространственной задачи Кеплера, предложенную Кустаан-хеймо и Штифелем (KS преобразование см., например, [168]). Геометрия задачи Кеплера и ее регуляризация обсуждаются также в [290].
Пусть в восьмимерном фазовом пространстве (Р, Q) Є M8 задана гамильтопова система с гамильтонианом
Я=8СИР'Р) + СР Q2 = (Q'Q)- (4Л)
На уровне энергии H = h после замены времени dt/dr = Q2 эта система сводится к уравнениям простого осциллятора, то есть регуляризуется. Действительно, если произведена замена времени d,T = n(P,Q)rA, то дифференциальные уравнения Гамильтона преобразуются к виду
^ = _19Я dQ = 19tf /42ч
dr П 9Q' dr TldP' 1 ' '
Если ввести новую функцию Гамильтона F = ^(H ~ 1>) и ограничиться рассмотрением системы на уровне энергии H = h (F = 0), то уравнения движения системы с гамильтонианом F на уровне H = h эквивалентны уравнениям (4.2):
^P = = _1М _ (я - h)AL і О"
dr OQ П oQ jOQVny П oQ'
dQ = _dF = lotf , irr _1Л_д_ fl\ = 1 dH dr OP П OQ 1 ' dQ \Tl) П OP'
Рассмотрим также проекцию на R6 = (х, у), заданную формулами
X = L(Q)Q, Q = ((/0,(/1,(/2,?), X=(X1-X2jX3-X4), ^
у = 2L(Q)P, P = (ро,р1,р2,р3), у = (2/1,2/2,2/3,?).
где L(Q) — матрица, задающая преобразование Кустаанхеймо— Штифеля (^"^-преобразование)
L(Q) =
( 42 Qa Qo Qi \
-Qa 42 Qi -Qo
Qo Qi -Q2 -Qz
\ -Qi Qo -Qs Qi )
(4.4) § 4- Кватернионная регуляризация Кустаанхейлю—Штифеля 211
При преобразовании (4.3) всегда выполнено Х4 = 0, а у4 = — qipa + + qoPi — ЯзР2 + Q2P3 является первым интегралом системы с гамильтонианом (4.1). Если рассмотреть движения, при которых у^ = с.4 = 0, то уравнения (4.1) переходят в канонические уравнения на K6 = (х, у) с гамильтонианом
Я
+ г = ^x2l+X22 + X23. (4.5)
Этот факт наиболее просто установить, преобразуя (канонические) скобки Пуассона при помощи (4.3). В силу (4.3) выполнено (х, х) = = (Q, Q)2, и гамильтониан (4.5) соответствует пространственной (в E3) задаче Кеплера. Этот способ регуляризации, предложенный Кустаан-хеймо и Штифелем, обобщает преобразование Волина (§ 2) для плоского случая и имеет многочисленные приложения в небесной механике [168].
Взаимосвязь между трехмерной задачей Кеплера и четырехмерным осциллятором, лежащую в основе ЙГ5-преобразования, можно также установить, пользуясь локальными координатами в E4. Действительно, рассмотрим в M4 новую систему коодинат (г,в,ір,ф), определяемую формулами
