Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
P =
2 ерЬ
(1 - е2)%
г с, Jp sin oj COS uj cos о; + ^v-—^2-
P
%
( pS e^/psintijcosa;
—ї-Г" COSW + = V---
R2 (1 _ е2)% ^ 2 1 _ е2
р%
R2 (1 _ е2)%
-—sin a; + + sin2 uj — 4 cos2 ш)
(6.7)
Параметр v = ujR имеет смысл линейной скорости движения неи-нерциальной системы отсчета.
0.8-0.6-0.4-0.2
0.8 0.6 0.4-0.2-
msmwz
KV......'
Рис. 9. v = 0.1, С = 1.0
Рис. 10. V = 1.0, С = 1.0 § 6. Смещение перигелия
229
0.И-
0.6-0.4-0.2
шт
HlliAvy//
W^IiY W
1 \\ ih \ / V-
\\^па ^ V'
/ V Л. '
0.8-0.6-0.4-0.2-
V
Рис. 13. V = 1U.U, С = 1.U Рис. 14. и = 1UU.U, С = 1.U
Уравнения (6.7) допускают интеграл
1-е2
2 р
С,
соответствующий отсутствию векового изменения энергии невозмущенной системы (6.3) в данном приближении (теорема Лапласа).
Фазовый портрет системы (6.7) зависит от отношения —р=, его про-
V О
екция на плоскость и>,е при различных v, С приведены на рис. 9-14. Из (6.2) следует, что от знака кривизны вид траекторий не зависит, а меняется лишь направление движения по ним. Как видно из приведенных рисунков, скорость смещения перигелия зависит от эксцентриси- 230 Глава З
пространстве Минковского M3. Потенциальная энергия U(q) соответствует задаче двух центров (§3 гл. 1).
U = jm\ ctgff- + jm2 ctg в+, HaS2, U = jm\ cth в- + Jm2 cth в+, на L2,
где mi,m2 — массы «тяжелых» частиц, а A_,fl+ — «углы» между ними и легкой частицей.
Направим ось Oz вдоль угловой скорости и), а неподвижные центры поместим в точки
Qi(SinflbO5Smfli), 42 (sin в2,0, sin 62) на S2, qi(sh Ai,0, chfli), q2(shfl2,0, chfl2) HaL2.
Параметры fli,fl2,u> при фиксированном взаимном расстоянии а и массах точек т\,т2 могут быть определены из уравнений:
sin 2fli = sin 2а, sin 2в2 = sin 2а,
tu2 = ——I^lL-; т = л/Ui2 т2 + 2тіШ2 cos 2 а
H2Sin asin2a v
для
S2, либо
sh 201 = ^ sh 2а, sh 2А2 = ^ sh 2а,
и)2 = -- т _ /то2 то2 + 2т\т2 ch 2a
R2 sh a sh 2a V 2
для L2.
Положение равновесия легкой частицы во вращающей системе отсчета называются точками либрации. Из (7.1) следует, что они являются критическими точками приведенного потенциала
Ut = U-^x q,wxq). (7.2)
В сферических (псевдосферических) координатах выражение (7.2) для приведенного потенциала принимает вид
77lj (COS Aj COS A + sin Aj Sin A COS ф) \ 2 2 • 2/)
Ut = -j -щ ~ 2 ш Sln
і (l - (cos Ai cosfl + sin Ai sinflcosy;)2)
(7.3) § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 231
пространстве Минковского M3. Потенциальная энергия E/(q) соответствует задаче двух центров (§3 гл. 1).
U = Jm1 ctg 0_ + jm2 ctg 0+, на S2.
U = jmi cth0_ + jm2 cth0+, на і2,
где rn,i, m2 — массы «тяжелых» частиц, а 9-, в+ — «углы» между ними и легкой частицей.
Направим ось Oz вдоль угловой скорости из, а неподвижные центры поместим в точки
qi (sin 01,0, sin в і), q2 (sin 0, sin 02) най12, qx(sh0i,O,ch0i), q2(sh02,0, ch02) Iia L2.
Параметры ві,в2,ш при фиксированном взаимном расстоянии о и массах точек ті,т2 могут быть определены из уравнений:
sin 201 = ^ sin 2а, sin202 = sin 2а,
2 2то7 / ; ~ T ~~~
ы =—----, т = у mi + т2 + Zmim2 cos Za
І2 sin a sin 2а v
для S2, либо
sh 201 = ^ sh 2а, sh 202 = ^ sh 2а,
і 2ту / Z ,, 7 —
ы = --—--. т = \ mi + mi + Zniim2 ch2а
R2 sh ash 2а V
для L2.
Положение равновесия легкой частицы во вращающей системе отсчета называются точками либрации. Из (7.1) следует, что они являются критическими точками приведенного потенциала
i/, = I7-|(wxq,wxq). (7.2)
В сферических (псевдосферических) координатах выражение (7.2) для приведенного потенциала принимает вид
Ші (cos ?{ cos 0 + sin 0? sin 0 cos ?^) I2 о . 2 „
u* = -7 2^-— - ^R CJ sin 0
і (l - (cos в і cos 0 + sin 0j sin 0 cos p)2)
(7.3) 232
Глава 2
на сфере S2, и
JT mi(ch <?i ch 0 +shfli sh0 cos V?) і 2 2 2
и* = -T V-г^ - ^R и sh fl (7.4)
і ((ch0j ch0 + shflj sh0cos</>)2 - l) Z
на плоскости Лобачевского.
В плоском случае существует пять точек либрации. Три из них, расположенные на одной прямой с неподвижными центрами (тяжелыми частицами), были открыты Эйлером, и называются коллинеарными. Две другие — треугольные, находятся на равных расстояниях от притягивающих центров и были найдены Лагранжем.
замечание 1. Лагранж также указал частные решения в неограниченной задаче трех тел, при которых тела движутся по эллипсам, оставаясь все время в вершинах равностороннего треугольника. Нахождение и анализ подобных решений в искривленном пространстве является гораздо более сложной задачей и до сих пор не выполнены.
По аналогии с плоским пространством критические точки функций (7.3), (7.4) можно разделить па 2 типа:
a) Коллинеарные критические точки — обобщение эйлеровских точек либраций. Они расположены в плоскости двух неподвижных центров и вектора ш.
b) Нсколлипеарпые критические точки — обобщение лаграпжевых точек либрации, которые в случае плоскости расположены на равных расстояниях от притягивающих центров.
