Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
L = ^(тЛ +Tn2Oj) +TWim2Ctgtf, B = O1-B2. (5.31)
Для системы (5.31) можно ввести понятие центра масс с угловой координатой ip = (miOi +т2в2)/(ті +т2).
В переменных ф,в получим систему
^ = 0, 9 = -{т1+т2)^р-. (5.32)
sin2 в
Зависимость угла в от времени получается обращением квадратуры
в
dB
/
y/h - 7(mi + m2) ctg в
#0
= t — to, h = const, (5.33)
которая находится в элементарных функциях. § 6. Смещение перигелия
225
2.8 Ч)
" ' 1 , , 2(S У1'' ¦' ¦¦ st"; , у I J-24 -,И . V . ' \ ¦ \ 9 о X1 / / ,
г « 4 Z ¦ 18 P
-1
Рис. 8
Из анализа этой квадратуры следует, что в системе центра масс всегда происходит соударение, причем зависимость угла в от времени в точке соударения может быть представлена в виде рядов Пюизо
9(t) = №2jt Сп№п.
11=о
Отметим, что не для всех столк-повительпых траекторий суммарный момент M равен нулю. Можно только показать, что в точке соударения q E S2 всегда должно выполняться соотношение (M,q) = 0.
Аналогично задаче двух тел на окружности (являющейся инвариантным многообразием) можно рассмотреть движение системы п-тел, которая описывается гамильтониантом
п
н=IY, pi+^jl "'•"'./ cts(*i - ві)-
i=l i<j
Для притягивающего потенциала (7 < 0) в общем случае система будет эволюционировать к взаимному столкновению пар частиц. В случае отталкивания (7 > 0) возможны нелинейные колебательные режимы, и траектории обладают свойством возвращаемости. Как показывают компьютерные эксперименты (рис. 8), проведенные для трех одинаковых отталкивающихся зарядов, фазовый портрет отображения Пуанкаре имеет области стохастичпости, что препятствует существованию дополнительного аналитического интеграла движения.
§ 6. Смещение перигелия
Одним из экспериментов, подтверждающих теорию относительности является наблюдение смещения перигелия Меркурия [169]. Это смещение связано с искривлением пространства вблизи гравитирующего тела. Покажем, что в ньютоновской механике искривленного пространства кеплеровская орбита также прецессирует, хотя и по другим законам [219]. В качестве модельной, рассмотрим ограниченную задачу 226
Глава 2
двух тел, которая не является интегрируемой, но при малой скорости движения тяжелого тела (выбираемой как малый параметр), допускает анализ по теории возмущений. Здесь мы никоим образом не стараемся поколебать фундамент общей теории относительности, по только укажем, что некоторые факты практической небесной механики допускают и другие интерпретации (наряду с несферичностью планет, рефракцией атмосферы и пр.).
Рассмотрим ограниченную задачу двух тел на S2 (L2) (§5), которые полагаем стандартно вложенными в E3 (M3): {q = (х, у, z) | (q, q) = = X2 + у2 ± Z2 = ±-R2}. Пусть «массивная» частица (притягивающий центр) движется по геодезической в плоскости XZ. В инерци-альной системе координат, жестко связанной с притягивающим центром, который поместим в северный полюс сферы (псевдосферы) — ез = (0,0,1), функция Лагранжа «легкой» частицы (материальной точки) имеет вид (5.12)
(ез, q)
+ (q, wq) + |(wq, wq). (6.1)
Здесь w — матрица угловой скорости системы отсчета
0 0 «Л 0 0 0
K+w 0 Ox
Для анализа по теории возмущений выберем в качестве координат на сфере (псевдосфере) г = RtgO (г = RtYiO) и азимутальный угол <р и представим (6.1) в виде
/
\
+
г2ф2
1 ±
7
+ І +
R2 J
(6.2)
+ 2
R
R2
cos if =F
w
sin2 (p.
1±
R2
Здесь w имеет порядок 1/R. При R задаче Кеплера.
оо задача сводится к плоской § 6. Смещение перигелия
227
Линейные по скоростям слагаемые в (6.2) имеют порядок —- и не
R2
могут быть опущены. Для исследования эволюции формы орбиты, соответствующей невозмущенной задаче Кеплера, представим уравнения движения системы (6.2) в переменных p.w,e,ip. Здесь е — эксцентриситет, из — долгота перицентра орбиты, ip — азимутальный угол, р — параметр орбиты, связанный с энергией E невозмущенной задачи Кеплера по формуле
(6.3)
2р 2R2 V ;
Новые переменные выражаются через координаты и скорости по формулам (далее полагаем 7=1)
_ P г2 . _ «sin(ip — ш) г2ф _ Г
r - 1 +ecoste-U)' TTZr ~ ^ ' TTZ ~ (6-4)
R2 R2
Здесь и ниже для сокращения записи мы не подставляем выражение г через p,e,w,<p. Используя канонические переменные r,ip,pr,pv, находим скобки Пуассона для p,e,u).ip:
о
Л ITtT1
{р, с) = - -jf-jsin 1P sinO - w);
' 1±
R2
2
\p,u}}= —2^/р + р' , sinycos(y-o;);
i±4
R2
{еМ = '"ga^ + % , РГ ч sin,,; («-б)
е^/р R / г^
Ч R2
IP5Vl = -2 \/Р\
2 cos(<p — из) + е + е cos2 (<р — ш)
|e,v} = -
{и),Lp} = -
урР
sin(y> — ui)(2 + є cos (up — из)) esfp 228
Глава 2
и функцию Гамильтона
тт _ 1-е2 , P , w
2 г2 Sill2 f г2
R2
(6.6)
Из (6.5) и (6.6) следует, что при R —> оо переменные р,е,и> — медленные, a if быстрая. Для определения векового изменения параметров
JL R2
уравнения движения по периоду невозмущенного движения. Получим следующую систему
орбиты при R^> г отбросим слагаемые порядка выше —- и усредним
