Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
(Н.9)
-^=(-2,-V3,l), е2 = -±=(-2,0,-2), е3 = -^=(-2,-\/3,1)
и удовлетворяют соотношению (е,;, ej) = 1—Sij, (a, b, с) — определитель матрицы из компонент векторов а, Ь,с (форма объема). 428
Приложение А
Гамильтониан имеет вид
JT Pi , РІ , Рз , Wim2 W2TO3 W1TO3 . .
" = Ш7 + «т^ + «тг "І--;-"I--;-"I--;-• (H.iu;
W1 TO2 TO3 ^ущ ^гщ
3. Орбиты и симплектические координаты. В алгебре (Н.7) орбиты, соответствующие физическим движениям системы, разделяются на два типа.
1. Регулярные шестимерные орбиты являются поверхностями уровня функции Казимира (Н.8). Квадрат площади треугольника неотрицателен, поэтому для физических симплектических листов (N,N) 0. Топологически такая орбита диффсоморфпа TL2 X Ж+ X К. Здесь TL2 — касательное расслоение псевдосферы (N,N) = C1, «радиус» которой принимает неотрицательные значения c1 E K+ = [0, ос), а последний множитель соответсвует линейной оболочке S4.
2. Можно показать (анализируя ранг матрицы (Н.7)), что через точки удовлетворяющие уравнениям (N,N) = 0, (S,N) = 0 проходят четырехмерные орбиты, дифферморфные касательному расслоению к конусу (N, N) = 0. Эти орбиты соответсвуют движению частиц по прямой (площадь равна нулю), и параметризуются постоянной Si = const.
Замечание 2. Орбиты, проходящие через точки с отрицательным зачением квадрата площади (N, N) < 0 или с нулевыми квадратами расстояний не имеют физического смысла.
Построим симплектические координаты на регулярной орбите, аналогичные переменным Андуайе—Депри в динамике твердого тела (см. §8, гл. 2). Для этого применим следущий алгоритм.
Для алгебры (Н.7) рассмотрим следующую цепочку вложенных подалгебр so(l,2) С яо(1,2) B3 С I7.
На подалгебре so(l, 2) в качестве переменной действия (импульса) выберем L = Si- Для гамильтонова векторного поля с функцией Гамильтона H = L 429
параметр вдоль интегральной кривой I является искомой угловой переменной, канонически сопряженной L: {l,L\ = 1. Подбирая константы интегрирования таким образом, чтобы выполнялось соотношение {?>2)S3} = —Si получаем
Si = L, S2 = Vl2-G2 cos I, S3 = Vl2-G2 sin/. (Н.П)
Функцию Казимира G = V^i ~ ^2 — S3 подалгебры so(l, 2) выберем в качестве гамильтониана (H = G) на подалгебре so(l,2) ®s В3. Интегрируя линейные уравнения
dNi = S3N2 - S2N3 dN2 = S3Ni- SiN3 dN3 = - S2Ni + SiN2 dg G ' dg G ' dg G
зависимость констант интегрирования от L,l,G находим из коммутационных соотношений для подалгебры ,чо(1,2) ®s R3.
N2 = ^sfL2-G2 cosZ+^УІ^-Д2 cosgcosZ-y^p^A^sing-sinZ, N3 = ^yfL2-G2 sin/+^ J^-A2cosgsin/+J^-A2 singcos/,
G2 GMG2 V G2
(H.12)
где H = (S,N), Д = (N,N).
В качестве последней переменной действия выберем S = S4. Окончательно получаем следующие выражения через симплектические координаты (/, g, s, L, G, S)
Ni = е"
,(MzL , VL2 - G2 [м% ~ \
N2=Cs^VL2-G2 cos/+|y^-lcosgcos/-y ^-lsing-sinZ), N3 = es (Щ VL2-Cr2 sin I+1cos gsin singcos /),
Si = s.
(H.13) 430
Приложение А
Переменные Si, S2, S3 выражаются по формулам (Н.11).
Вместо переменных s, S можно ввести другую пару канонических переменных .-/;, у по формулам es = х, S = ху.
Замечание 3. Используя приведенную алгебраическую структуру задачи трех тел, несложно также реконструировать результаты классиков в проблеме понижения порядка. Однако полученные при этом выражения будут оставаться достаточно громоздскими. Напомним, что в исследованиях Брупса, Уинтнера и ван Кампена в качестве позиционных переменных выбираются взаимные расстояния. Понижение порядка, выполненное Шарлье, использует расстояния трех тел от общего центра инерции.
Используя алгебраическую форму уравнений задачи трех тел несложно исследовать ее частные решения. Одно из таких решений было указано Лаграпжсм. В этом случае все три тела находятся в вершинах равностороннего треугольника (который в еще более частном случае не меняет своих размеров). Второе решение принадлежит Эйлеру и определяет коллинеарные стационарные конфигурации. Все эти решения можно определить по методу, изложенному в гл. 1, а также получить систему соответствующих инвариантных соотношений, не являющихся, вообще говоря, пуассоновыми многообразиями.
Несложно показать (см. [153]), что «твердотельных» стационарных конфигураций в задаче трех тел всего две — эйлерова и лагранжева. В задаче u-тел наиболее подробно изучены коллинеарные конфигурации.
По теореме Мультона их число равно ^ [149].
В работе [149], где дано топологическое доказательство теоремы Мультона с использованием теории Морса. Высказаны также ряд гипотез о количестве неколлинеарных конфигураций в задаче n-тел. Насколько нам известно, большинство из них до сих пор не доказаны. Возможно, что алгебраическая форма приведенной системы, предложенная в этом приложении, позволит добиться продвижения в этом вопросе (см. также §6 гл. 4). Литература
[1] Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости. Усп. мат. наук. т. 24, 1969, №3, с. 225-226.
[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. M.: Наука, 1991.
