Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
{7Г;,Ао} = A,;, {Ai,Aj} = {A,:,A0} = 0,
при всех і, у, к, принимающих значения 1, 2, 3. 408 Приложение А
Скобка (D.5) является вырожденной и имеет две функции Казимира, фигурирующие в лемме 2. Из (D.4) получаем
з з
Fl=P2 = Y Xl> F2=Pi = Y К: C0-6)
(J=O (J=O
где W — четырехмерный вектор Паули—Любанского (точнее его евклидов аналог для е(4) — в классическом случае он определен для группы Пуанкаре).
W0 = (A5L),W = LA0+тг ж A. (D.7)
Его коммутационные соотношения с образующими аналогичны коммутационным соотношениям для четырехмерного вектора А:
{Lh Wj] = BijkWk, {/,,:• Ио!=0. {жі, Wj} = SijWo, ,n {-Ki,W0} = -Wi, {A„,W4 = 0, {W?,Wv} = 0. [U-O>
Общие уровни функций Казимира Fi = ci,F2 = с2,Єі = const представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство (L,7r, A, A0) на орбиты коприсоединенного представления группы E(4).
В общем (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при ci = 0 или при с2 = 0 размерность орбиты падает на две единицы. Как было сказано выше, сингулярная орбита при сі ф 0, с2 = 0 гомеоморфна (ко) касательному расслоению трехмерной сферы TS3 ('T*S3) , и для векторов L,7T выполняются соотношения
(A, L) = 0, LA0 + 7Г X А = 0. (D.9)
Скобка Ли Пуассона (D.5) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных х = (L, 7г, A, A0)
f — дН „ т і дН . дН \
* _ дН v ^ , дН v т , он, , ан
Ao = "(A'lf Л _ дн А л дн
(D.10) Сингулярные орбиты коприсоединенного представления 409
Здесь H = H (L, 7Г, Л, Ao) — функция Гамильтона. Уравнения (D.10) на каждой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной канонической форме.
Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в § 2 гл. 2 (2.9) записаны для иного представления е(4), соответствующего каноническому разложению подалгебры so(4) ~ ~ so(S) Ш so(3). Для перехода к нему следует ввести новые переменные M,N по формулам
M = і (тг - L), N = і (тг + L).
В этом случае алгебра (D.5) разлагается на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебры. Ранг пуассоновой структуры каждой подалгебры равен шести, и они имеют один и тот же анну-лятор Fi =Y xI-
Коммутационные соотношения для подалгебры (М,А):
{Ми Mj] = SijkMk, {Mi, A0} = ^Xi, {Mi, Xj] = -і (SijkXk +SijX0),
(D-H)
и подалгебры (N,A):
{Nh Nj] = EijhNk, {Ni, A0} = ^Ajj(JVjjAj) = \ (EijkXk - SijX0).
(D.12)
В этих переменных инвариантные соотношения (D.9) имеют вид
(N - М) A0 + (N + М) X А = 0, , .
(N-MjA)=O. 1 ;
С помощью кватерпиопиого умножения они записываются еще короче: M = A-1NA (механический смысл этих соотношений проясняется в § 2 гл. 1). На орбите T*S3 справедливы также выражения
тг = 2 (A0A X M + А (М, A) + AgM) ,
, (D.14)
L = 2 (A0A X M + А (М, А) - A2M) . 410
Приложение А
Замечание. Сингулярные орбиты алгебры и(п) также могут быть описаны при помощи изложенной конструкции. Действительно, С" над полем вещественных чисел изоморфно R2", поэтому существует естественное вложение и(п) С но(2п). Это позволяет для описания орбит использовать инварианты so(2n) (D.1). Можно показать, что сингулярные орбиты минимальной размерности задаются матрицами ранга 1. Интерпретация таких орбит с точки зрения отображения момента содержится в § 6 гл. 4. Приложение E Неинтегрируемость системы Дайсона
Динамика системы п взаимодействующих частиц равной массы
описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
Н= (ЕЛ)
і<3
Здесь Xi,... ,хп — координаты, yi,... ,уп — импульсы частиц, V — потенциальная энергия взаимодействия. Рассмотрим, следуя Дайсо-ну [230], случай, когда
V(z) = In I sinz|. (Е.2)
Системы с таким потенциалом изучались в работе [230] в связи с анализом статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоповского газа. Аналогично ситуации, отмеченной Калод-жеро, для системы точечных вихрей на плоскости [205], положения равновесия системы (E.I), (Е.2) определяют стационарные коллинеарные конфигурации на сфере (точечные вихри располагаются в экваториальной плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, также лежащей в этой плоскости (см. гл. 4)).
Поскольку функция V 27г-периодична (она даже ^-периодическая), то можно считать, что частицы движутся по окружности. Система с гамильтонианом (Е.1) всегда допускает два интеграла
H, F = ^Vi-
Отысканию условий на потенциал V, при котором рассматриваемая система вполне интегрируема (допускает набор из п независимых интегралов, полиномиальных по импульсам yi,... , уп), посвящено большое число работ (см. обзоры в [91, 137]). Если V — непостоянная аналитическая периодическая функция без сингулярностей, то при п ^ 3 система с гамильтонианом (Е.1) не может быть вполне интегрируемой [91, 137]. 412
Приложение А
Потенциал Дайсона (Е.2) имеет вещественную логарифмическую особенность. Задача об интегрируемости этой системы обсуждалась в работе [214].
Как отмстил Дайсоп, система с потенциалом (Е.2) допускает семейство равновесий
