Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
0І=6о+86І, + -!)+%¦ (G.2)
Линеаризованные уравнения для SOi и Sipi автономны и имеют вид:
(G.3)
Г 1 Mk = л „9 о • й AkiSVi, 4тгR2 2 sm во
¦ ох- Г 1 л sq Г JV -11 + cos2 вр sn
sm0od<pk = , 2 л AkMi----. 2 „ Sdk,
^ttR2 2 sin2 O0 4тгR2 sin2 в0
здесь А — (N X Л^-матрица с элементами JV-I
А« = E-піт---V (G-4)
m=i sm ^m sm jj(k - г) 421
Дифференцированием по времени уравнения (G.2) могут быть приведены к системе N уравнений второго порядка следующего вида:
S$k = (-г—2—1 (л4 - 2(N - !)(1 + Cus2 (G.5)
у H kR sin во J
(Аналогичные же уравнения получаются для вк при исключении <рк). Решение уравнения (G.5) имеет вид
Svk = YtCjryCa-*,
т
где константы выражаются через собственные числа и век-
торы матрицы Aki.
Элементы Aki зависят только от разностей (к — і), вследствие чего матрица А диагонализуется преобразованием Фурье. Собственные значения матрицы представимы в виде
Xm = 2m(N-m), то = О, 1, ... , [N/2]. (G.6)
Каждому собственному значению соответствует 2 собственных векто-ра ф(Г] = cos (ta/j и = sin (ta/j , і = і, ... , iV. В слу-
чае четного N значениям то = 0 и то = N/2, а в случае нечетного N только значению т = 0, соответствует единственный собственный вектор ф\т) [184].
Используя (G.5), (G.6), находим частоты Vlm
= О о2Г 2 д - 2(N - 1X1 + cos2 ^2X1J12 =
8 TrR sm и о
=Г(г- -)-(^-Dd+^о))1/2- (G'7)
AttR2 sm O0
Наличие нулевой частоты (G.7) при то = 0 соответствует абсолютной неустойчивости томсоновских конфигураций. Действительно, при возмущениях SOi, Sipi, соответствующих то = 0, конфигурация (G.1) переходит в близкую томсоновскую конфигурацию, которая удаляется от исходной линейно по времени. При этом устойчивость относительного движения вихрей определяется оставшимися частотами. Для относительной устойчивости необходимо, чтобы оставшимисся Vlm были 422
Приложение А
чисто мнимыми [165]. Каи видно из (G.7) при приближении к экватору конфигурации (2.3) теряют устойчивость.
Отдельного рассмотрения требует случай O0 = 7г/2, когда том-соновские конфигурации становятся статическими (ш(тг/2) = 0). Как видно из (G.7) при этом для N = 2, 3 все частоты Hm равны нулю.
При N = 2 устойчивость статических конфигураций следует из сохранения расстояния между вихрями во время их движения (§ 3 гл. 4). При N = 3 условие неустойчивости томсоновских конфигураций, пай-денное в § 3 гл. 4, (3.43), не выполнено, и статические конфигурации являются устойчивыми. Для N ^ 2 статические конфигурации являются неустойчивыми, т. к. появляется частота П„, с положительной вещественной частью.
Таким образом, справедливо следующее обобщение теоремы Том-сона об устойчивости правильных iV-угольных конфигураций вихрей па сфере.
Теорема 1. Правильные N-угольные конфигурации вихрей на сфере:
1. При N ^ 8 неустойчивы в линейном приближении;
2. По сравнению с плоским случаем, при N = 7 добавление кривизны нарушает устойчивость;
3. При приближении к экватору (или, что тоже самое, увеличении кривизны) конфигурации (G. 1) с N = 4, 5 и 6 последовательно теряют устойчивость. Предельные широты устойчивости O0 определяются формулами
N = 4 при cos2 6q N = 5 при cos2 Oq N = 6 при cos2 во
4- Конфигурации с N = 2, 3 являются устойчивыми в линейном приближении.
Замечание 1. Устойчивость при 0о — требует отдельного анализа с учетом нелинейных слагаемых. Приложение H
Алгебраизация и приведение задачи трех
тел
Понижение порядна в задаче трех тел небесной механики впервые в систематической форме обсуждается в лекциях Якоби [170]. Oii подробно останавливается па барицентрической системе координат, позволяющей игнорировать прямолинейное и равномерное движение центра масс, а также на процедуре исключения кинетического момента (исключения узла). Конструктивно этот процесс, приводящий в плоском (пространственном) случае к системе с тремя (четырьмя) степенями свободы был выполнен Радо, Брупсом, Шарльс, Ли, Леви-Чивита и Уиттекером, обзор исследований которых содержится в трактатах [154, 166]. Наиболее естественное и полное понижение порядка в задаче трех тел принадлежит ван Кампену (Е.Р. van Kampen) и Уин-теру (A. Wintner) [268]. Она обсуждается также в книге [153]. Все эти классические результаты основаны на теории канонических преобразований и связаны с громоздкими вычислениями. Здесь мы приведем более геометрический способ понижения порядка в плоской задаче трех тел, который без труда можно обобщить на пространственнную задачу п тел. On связан с предварительной алгебраизацией редуцированной системы и последующим введением канонических координат на сим-плектическом листе. В отличие от классического подхода эта процедура использует только (алгебраическую) пуассонову структуру редуцированной системы и никак не затрагивает гамильтониан (а поэтому справедлива и для других потенциалов, зависящих от взаимного расстояния между телами). Излагаемый алгоритм приведения является универсальным и использует только алгебраические методы. Аналогичные результаты для динамики твердого тела имеются в § 8 гл. 2. Несомнено, что само изучение алгебраической формы задачи n-тел помимо более естественной симметризации представляет для небесной механики большие перспективы. 424 Приложение А
