Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 130

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 144 >> Следующая


1. Алгебраизация системы. Гамильтониан плоской задачи трех тел можно представить в форме

н = + (н-1)

г=1 іфі

здесь Ті(хі,Уі), рі{Ріх:Ріу) — двумерные векторы положения и имиуль-сов частиц, для компонент которых (Pix, Xi, ріу, у і) коммутационные соотношения канонические.

2

X

Рис. 79

Выберем новые образующие, характеризующие относительную динамику частиц, в виде квадратичных форм от канонических переменных:

1. Квадраты взаимных расстояний

M1 = |г3 -г2|2,

M2 = Ir1-F3I2, (Н.2)

M3 = |г2 -пI2.

2. Скалярные произведения импульсов и прилежащих сторон треугольника, образованного точками (см. рис. 79)

X2 = (гі - r3,pi), X3 = (r2 - ri,pi),

Y1 = (г3-r2,p2), ^3 = (F2-TbP2), (Н.З)

Zi = (г3 - г2,р3), Z2 = (гі -г3,р3). 425

Вследствие того, что гамильтониан (Н.1) зависит лишь от модулей импульсов и взаимных расстояний он может быть выражен через относительные переменные (Н.2-Н.З), которые образуют скобку Ли— Пуассона.

[X2, X3

[х2,гг

[X3, Y3 [Y^Y3 [Y3, Z і

— X2 + X3, = X2 + X3, = X3+Уз, = -Y1 - Y3, = -Zi — Z2,

[X2,Yi] =Q, {X2, Z2J = -X2 — Z2, {X3,Zi} = 0, {Yi,Zi}=Yi + Zi, [Y3, Z2] = Q,

{X2,Y3} = -YI-Y3, {X3,Yi} = -X2 — X3, {X3, Z2 } = Zi + Z2, {YI,Z2} = -YI-Y3, {Zu Z2] = Zi+Z2,

{X2,Mi} = 0, [X2,M2] = -2M2, {X2,M3} = Mi-M2-M3, (X3iM1) = O, {X3,M2} = -Mi + M2 + M3, {X3,M3} = 2M3, {YuMi} = 2Mi, {УьМ2)=0, {Yi,M3} = -M2+MI+M3, {Y3,Mi}=M2-Mi-M3, {Уз,M2)= 0, {Уз,М3} = -2M3, [Zi,Mi} = -2Mi, {Zi, M2] =M3-M1-M2, {Zi,M3}=0, [Z2, Ml} = -M3 + M1 +M2, [Z2, M2] = 2M2, [Z2, M3] = 0,

(M1-M2) = O. {M3,M2} = 0. (M1-M3) = O.

(H.4)

Можно показать, что переменные M,X,Y,Z коммутируют с интегралом полного момента системы относительно произвольной точки и квадратом полного импульса. Следовательно отображение (Н.2)-(Н.З) соответствует редукции по этим интегралам, при этом ранг первоначальной скобки (равный 12) падает на четыре единицы. Таким образом ранг скобки (Н.4) равен восьми, функцией Казимира является квадрат полного импульса (который в отличие от момента выражается через относительные переменные (Н.2)-(Н.З)).

Замечание 1. Использованный здесь и вихревой динамике (см. гл. 4) метод алгебраизации динамической системы, является частным случаем общего метода, который основывается на том, что для канонической симплекти-ческой структуры ш = dpi Л dxi квадратичные функции образуют алгебру ар(п) [3]. Каждой конкретной задаче соответсвует определенная подалгебра в sp(n), образующие которой коммутируют с интегралами движения системы.

2. Барицентрическая система координат и пуассоновы подмногообразия. Приведенная выше редукция относится к произволь- 426 Приложение А

ной инерциальной системе отсчета, для которой в общем случае две проекции полного импульса и полный момент образуют некоммутативный набор иптсралов. В системе центра инерции (барицентрическая система отсчета) полный импульс равен нулю, следовательно набор интегралов коммутативен и возможна редукция еще на одну степень свободы. Для понижения порядка в алгебраической форме необходимо ограничить систему па подмногообразие пулевого полного импульса в алгебре (Н.4).

Выберем новые образующие в алгебре (Н.4), соответствующие собственным векторам формы Киллинга [8]

51 = -^(X2 + X3 + Y1 + Уз + Z1 + Z2),

л/3

52 = \(Уз +Z2-X2 -Y1),

53 = —^—(2Х3 - У3 + IZ1 - Z2 + X2 - Ух),

4 Vo

Si = ^X2-X3-Y1+Y3+ Z1- Z2),

S5 = X2-Y1-Y3 + Z2, (Н.5)

S 6 = -X2 — X3 +Y1 + Z1,

N1 = —Um1 +M2 +M3), V6

N2 = -L(M1-M3),

л/2

N3 = —7= (Af1 — 2М2 + M3), л/6

Переменные Sn, Se пропорциональны проекциям полного импульса па две стороны треугольника (см. рис. 79). Линейная оболочка S5, Se образует идеал в алгебре (Н.4), следовательно, подмногообразие нулевого импульса

S5 = о, S6 =O (Н.6)

является пуассоновым. Ограничивая систему на (Н.6) и, упорядочивая 427

оставшиеся переменные следующим образом: х = (Si, S2, S3, S4, Ni, N2, N3), получим таблицу коммутационных соотношений

111?,?}!! =

( 0 S3 -S 2 0 0 N3 -N2 \
-S3 0 -Si 0 -N3 0 -Ni
S 2 Si 0 0 N2 Ni 0
0 0 0 0 -Ni -N2 -N3
0 N3 -N2 Ni 0 0 0
-N3 0 -Ni N2 0 0 0
К N2 Ni 0 N3 0 0 0 )

(Н.7)

Функция Казимира структуры (Н.7) совпадает с квадратом полного момента относительно центра масс

AL2 = 4

(N5N)

(Н.8)

где (a,b) = Uibi — a2b2 — а3Ь3 — скалярное произведение в пространстве Минковского. Числитель и знаменатель этой дроби являются функциями Казимира подалгебры яо(1, 2) ®s K3 с образующими (Si, S2, S3, Ni, N2, N3), при этом (N5N) = 2Д2, где Д — площадь треугольника, образованного частицами.

Алгебра ?7, соответствующая скобке (Н.7) представляет собой полупрямую сумму, подалгебры, образованной элементами Si, і = 1,... ,4 и трехмерного коммутативного идеала: = (яо(1, 2) Ш В) В3.

Квадраты импульсов и взаимных расстояний могут быть записаны в форме

з = 1 {ek, N) S2i - 2 (ek,S, N) S4 + 2 (efc,S) (S, N) - N) (S, S) Рк 3 (N,N)

Mk = (ек, N). к = 1, 2, З,

где S = (Si, S2, S3), N = (Ni, N2, N3), векторы ек имеют вид Єї
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed