Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
кольца при 0 < h < 1/2 и совпадает со всей сферой при h > 1/2. Это означает, что при h < —1/2 поверхность Q3 пуста, при —1/2 < h < О она состоит из двух S3. При 0 < h < 1/2 изоэнергетическая поверхность гомеоморфна S1 х S2, а при h > 1/2 она гомеоморфна RF3.
Уравнения бифуркационной диаграммы находятся из условия зависимости градиентов VH, VK, VFi и VF2. Эти уравнения имеют вид:
K = О,
К = (2Н — I)2, О,
tf = (2tf + l)2,
Последние два уравнения могут быть получены по-другому. В работе [163] найдено преобразование, разделяющее переменные. В новых переменных Ai, A2 динамическая система выглядит следующим образом:
Ai = v/2(A2-l)(Ai -?),
x2 = v^(I-A2Xa-A2),
где а = 2h, — у/к, /3 = 2/і + у/к, К = к = const. Это разделяющее преобразование вырождается при к, = 0, поэтому условие кратности корней одного из полиномов
PI = (A2-1)(A-/?), Р2 = (1-А2)(а-А)
дает только часть бифуркационной диаграммы (кроме кривой К = 0).
Бифуркационная диаграмма построена на рис. 76. Там же отмечено количество торов в каждой из областей, на которые бифуркационная диаграмма разбивает образ отображения момента. Количество торов можно найти, анализируя формулы перехода от координат (K,s) к координатам (Ai, A2).
Топологический анализ показывает, что при переходе к случаю g ф О некоторые топологические характеристики обобщенной задачи (как, например, вид бифуркационной диаграммы) меняются непрерывно, а некоторые (такие как топологический тип поверхности Q3 ) изменяются резко, скачком.
Действительно, можно показать, что ОВД на сфере Пуассона описывается функциейТопологический анализ обобщенной задачи Чаплыгина 417
Рис. 76
которая при g = О дает функцию ip(s). Наличие переменной s3 в знаменателе при g ф О говорит о том, что для любого значения h ОВД исключает окружность S3 = 0, тем самым поверхность Qjl всегда состоит по крайней мере из двух несвязных кусков.
Исследование морсовских особенностей этой функции при g ф О даст следующую картину: ОВД пусто при h < h(g), имеет вид четырех дисков (два в области S3 > 0 и два в области S3 < 0) при h(g) < h < g2 или двух дисков (по одному в каждой из областей S3 > 0 и S3 < 0) при g2 < h. Здесь разделяющая кривая h(g) задается параметрически:
h = ё=Чг> * є [-M) U (0,1].
Топологический тип поверхности и разделяющие кривые изображены в плоскости (g, h) на рис. 77.
Бифуркационную диаграмму получим из условия зависимости градиентов VH, VK, VFi и VF2 (разделяющие переменные при g ф 0 до сих пор не найдены). Можно показать, что она является частью поверхности кратных корней любого из следующих полипомов:
Pi = Й4І4 + a3t3 + a2t2 + ait + а0, P2 = b4t4 + b3t3 + b2t2 + bit + b0,418
Приложение А
Рис. 77
где
«,4 = (I+/?)2,
а3 = -2(a? + ?2 + а + 3/3 - 8g2 + 2), а2 = а2 + 4а/3 + ?2 +6(a + ? + 1) + 4^(/3 - 2а - 9), ai = -2(а2 + a? + За + /З + 2g1 (? - За - 6) + 2), а0 = (1 + a)2 + 4g2(g2 -a- 1),
hi = (1 - a)2.
b3 = -2(a2 + a? - За - ? + 8g2 + 2), b2 = a2 + 4а/З + ?2 - 6(а + ? - 1) + 4^(а - 2/3 + 9), ol = —2(a? + ?2 - a - 3/3 + - З/З + 6) + 2),
/.о = (1-/3)2-/3 + 1).
Здесь по-прежнему а = 2/t -Vk, ? = 2h + Vfc.
Ha рис. 78 указано также количество торов в различных областях образа отображения момента: 0, 2 или 4. При g —5- О эта бифуркационная диаграмма постепенно превращается в диаграмму для классического случая. Однако количество торов в некоторых областях удваивается. Это можно объяснить тем. что некоторые торы, пересекающие при g = О окружность S3 = О в проекции на сферу Пуассона, «перерезаются» этой окружностью па два тора при g ф О.
Бифуркационная диаграмма и построенные в [301] топологические инварианты позволяют утверждать, что рассматриваемая задача (являющаяся аналогом случая Ковалевской) и классический случая Кова-Топологический анализ обобщенной задачи Чаплыгина
419
Рис. 78
лсвской Iic являются топологически (а также траєкторно) эквивалентными. Поэтому эти две задачи являются существенно разными и не могут быть получены друг из друга при помощи аналитического (гладкого) преобразования (включая замену времени вдоль траектории). Интересно было бы сравнить результаты методов качественного анализа для обеих задач [77].Приложение G Устойчивость томсоновских конфигураций
на сфере
Рассмотрим па сфсрс систему N точечных вихрей одинаковой интенсивности Гі = Г, і = 1, .... N. В абсолютных переменных уравнения движения приведены в § 2 гл. 4 (2.7).
В данном случае система инвариантна относительно дискретной группы перестановок вихрей, и, следовательно, допускает различные симметричные частные решения. Рассмотрим те из них, которые являются аналогами хорошо известных томсоновских конфигураций на плоскости. Вихри при этом расположены па одной широте во, в углах правильного Л^-угольника и вращаются вокруг его центра с угловой скоростью ш:
Oi= в o=const, рі=ш(0о)і + ^(і-1),
Г(АГ-І) ctg 6*о (СЛ)
4^R2 sin во '
Рассмотрим устойчивость этих частных решений в линейном приближении [184]. Для этого выберем вариации 5ві и Stpi в виде: