Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
{A iJj} = ^s/R(X~), {A;, AjJ = 0, {fijj} = 0. (С.6)
Скобки с функциями Казимира опущены.
При произвольных R(X) и S3 скобка Пуассона не обязательно удовлетворяет тождеству Якоби. Однако, если R(X) и S3 определены первыми интегралами некоторой динамической проблемы, то это тождество Алгебро-геометрические скобки Пуассона и их приложения
401
выполнено — тождество Якоби индуцируется из первоначального фазового пространства, в котором система гамильтонова. Это влечет за собой существование 1-формы Q (определенной глобально только на накрытии Г), позволяющей вычислить переменные действия.
В работе [133] тождество Якоби использовано для вычисления констант интегрирования для уравнений Абеля в случае Стеклова— Ляпунова для уравнений Кирхгофа (которые, видимо, так и не были найдены Ф. Кеттером, проинтегрировавшим эту задачу).
Замечание 1. Другое гамильтоново представление уравнений Абеля (С.4), отличное от рассмотренного выше, приведено в работе [179].
В работе [42] рассмотрены лиувиллевы замены времени, сохраняющие гамильтоновость интегрируемых дифференциальных уравнений (но, возможно, в новой симплектической структуре). Такие замены в механике хорошо известны: преобразование Колосова в задаче Ковалевской [103], замена параметра в задаче Якоби о геодезических на эллипсоиде [170]. Замена Колосова, приводящая задачу Ковалевской, описываемую в переменных Ковалевской уравнениями (С.1) при g = 2 соответствует замене времени dr = (Ai + X2)dt, которая приводит (С.1) к системе с двумя степенями свободы и разделяющимися переменными. Этот пример также показывает, что разделение переменных часто бывает естественным не в том времени, в котором система является вполне алгебраически интегрируемой (по Адлеру и ван Мербеке [175, 176]). Такая замена приводит также к неабелевым торам [42]. Приложение D Сингулярные орбиты коприсоединенного представления групп SO(n), Е(п)
В этом приложении приведем в более систематической форме сведения о сингулярных орбитах коприсоединенного представления групп Ли SO(n) и Е(п). Как было показано в гл. 2, 3 гамильтоиовы системы на сингулярных орбитах алгебры е(4) естественно возникают в различных механических и физических задачах. При изложении результатов, касающихся многомерных обобщений сингулярных орбит so(n) и е(п), мы будем в основном следовать работе [204].
1. Сингулярные орбиты 8о(п). Рассмотрим алгебру Ли ао(п), реализованную как алгебра антисимметричных матриц:
( 0 x1 ... xn-! \
-x1 0 ... х2п-2
X =
-xn-! ... -x „(„_!) 0
X Є so(n).
\ 2 / Как известно, орбиты присоединенного представления алгебры so(n) (изоморфного для полупростой алгебры коприсоединенному) за-
nJV nin ~ 1) \
даются в R , I N = -^-) как совместные поверхности уровня системы функций Казимира
Sk=TvXk.
Иногда вместо этой системы удобно рассматривать эквивалентную систему функций, а именно — коэффициенты рк характеристического многочлена:
Ajc(A) = \Х- ХЕ\ = А" - PlXn~1 - P2Ari"2 - ... - Рп.
Переход от первой системы ко второй осуществляется при помощи формулы рк = Sk-PlSk-1 —.. .—pk-1S1. Для so(n) справедливо соотношение S2k+1 = TrX2fc+1 = 0, из которого следует, что р2к+1 = 0 и
T^S2, Р4 — S4 — ^S2, pg—SQ — ^S2 S4 + ^52, Сингулярные орбиты коприсоединенного представления 403
Лемма 1. Для X Є .чо(п) имеет место соотношение
Pn-H = (-If E 1^-,:,1 = (-1)* E (D-I)
ii<...< ifc «1 <...<>:fe
Здесь и далее Xilf^ik обозначаются матрицы, получаемые из X вычеркиванием і і,... . %k строк и і і,... , г і столбцов, a Pfil^jfk (X) — пфаф-фианы этих матриц
Pfi1^Ak(X) = \/<let, Xj1...^ = ^y ^^ eii---ikj1--4n-kXhh • • •xin-k-\jn-k^
]!<¦¦¦ jn-k
где Xij элементы матрицы X, (n — h четные, так как ргг+і = 0).
Доказательство.
Для произвольной вхп матрицы А введем матрицу M с элементами Mij = Aij — auoij. Приводя в выражении для детерминанта матрицы А подобные слагаемые при произведениях диагональных элементов, получим равенство
п
detA=E E Ciilil.. .aikikdet Mil..Лк.
A=O IsCil <•••<
Применив его к матрице X — XE и учитывая, что p2i+i = 0, а определитель антисимметричной матрицы четного порядка равен полному квадрату некоторого полинома (называемого пфаффианом), получим утверждение леммы. ¦
Следствие. Система уравнений Pfi1...^ (X) = 0 задает Adso(n)-UHea-риантное подмногообразие в но(;н).
Доказательство.
Из формулы (D.1) следует, что равенство pn-k = 0 эквивалентно равенству пулю каждого слагаемого, являющегося полным квадратом. Несложно также показать явно, что
{xij,Pfi1...ik(X)}\,p . =0'
1* (D.2)
V 1 ^ h < ... Ik ^ п, 1 ^ ii < ... ik ^ п.
Используя коммутационные соотношения {x.ij,xki} = SjkxU ~ — SjiXik + SuXjk — SikXji, можно убедиться, что существует три различных случая. 404 Приложение D
1) Если (i,j) С то равенство (D.2) выполняется, так как P fh...Ik(X) не зависит от тех Xj-i, с которыми Xij не коммутирует.
2) Если (i,j) <jL {/i,.../fc}, то Xij принадлежит подалгебре so(n — k), для которой Pfi1^ik(X) — функция Казимира, и коммутация (D.2) заведомо выполнена (не только для Pf = 0.)
