Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, что дополнительный квадратичный интеграл (А.10) существует лишь в случае Aigi = 0. Однако, возможно, система интегрируема и в более общем случае. Интересно было бы найти для системы (А.10) условия интегрируемости, а также выяснить возможности представить ее в гамильтоновой форме. Заметим при этом, что классическая система Жуковского—Вольтерра является не только гамильтоновой, но и бигамильтоновой. Но если даже система (А.10) не является алгебраически интегрируемой, ее поведение не будет хаотическим (как и уравнений (А.4)), вследствие того, что она разбивается на две подсистемы, поведение каждой из которых регулярно (эти две подсистемы по отдельности также являются гамильтоповыми см. раздел 1). Распознавание гамильтоновости динамических систем 389
3. Движение ферромагнетика при наличии эффекта Бар-нетта—Лондона. Суть квантовомеханического эффекта Барнетта заключается в том. что нейтральный ферромагнетик намагничивается вдоль оси вращения. При этом магнитный момент В связан с его угловой скоростью CJ соотношением В = AiCJ, где Ai — некоторый симметрический линейный оператор. Аналогичный момент возникает при вращении сверхпроводящего твердого тела под действием эффекта Лондона. Если тело вращается в однородном магнитном поле с напряженностью Н, то на него действуют магнитные силы с моментом В х Н. Обозначив 7 = Н, уравнения движения можно записать в виде:
Как показано в [80], уравнения являются гамильтоповыми при A = A (они приводятся к уравнениям Кирхгофа, т. е. уравнениям на алгебре е(3)), а также при A = diag(Ai, A2, Аз), А = Е. В последнем случае они являются интегрируемыми и линейным преобразованием координат приводятся к случаю Клебша на алгебре е(3) [46].
Уравнения (А.11) обладают двумя интегралами F1 = (М,7), F2 = = (7,7) и стандартной инвариантной мерой. В общем случае для их интегрируемости не хватает еще двух интегралов.
При A = O такими интегралами являются F3 = (М, М), F4 = = (М, AM). При A = diag(Ai, A2, A3), используя метод расщепления сепаратрис, можно показать, что при а\ ф я,2 ф а3 ф а4 условия существования хотя бы одного из дополнительных интегралов движения, порождаемых F3 или Fa, имеют вид
Из (А.12) видно, что еще один интеграл может действительно существовать при A = E. Это интеграл момента F3 = (М, М). При "і = а2 = а, A = E система (А.11) является уже полностью интегрируемой и дополнительным интегралом является
M = Mx AM + AM X 7,
7 = 7 X AM, A = AiA, А = I-1 = diag(«,i, а2, я,3).
(А.11)
F4 = аМ3 + J3. 390
Приложение А
Вопрос о гамильтоновости уравнений (А.11) был поставлен в [82], однако до сих пор не является решенным. Как отмечено в [7], в случае в] / e2 / аз ф ві для гамильтоновости необходимо, чтобы матрица Л была диагональной Л = diag(Ai, A2, A3).
Вычисление показателей Ковалевской при = = В, = 1 для решения
(c1, ...,C6)= 0,
A3 / A2 с3 _С2_ A2 — A3 у A3 — A2' A2C2' A3 A2
приводит к следующему набору
(-1,1, 2, 2,1 + s/B2 - 2В, 1 - у/B2 - 2В).
Для него не выполнено условие спаренности, типичное (в общей ситуации невырожденности в точке (сІ5 ... , С-е) структурного тензора) для гамильтоновых систем. Однако, это наблюдение не может считаться строгим доказательством негамильтоновости системы (А.12) (§ 7 гл. 1). Приложение В Неголономные системы, приводимость и гамильтоновость
Здесь мы рассмотрим ряд вопросов, связанных с теорией интегрирования уравнений неголономной механики. Эта теория развита не столь полно по сравнению с методами интегрирования гамильтоновой механики. На это имеется ряд причин.
Во-первых, уравнения движения неголономных систем имеют более сложный вид по сравнению с уравнениями Лагранжа и Гамильтона, описывающих динамику с интегрируемыми связями. Попытки распространения метода Гамильтона—Якоби на системы с голономными связями оказались неэффективными с помощью обобщенного метода Гамильтона—Якоби можно найти в лучшем случае лишь частные решения уравнений движения [315]. Во вторых, уравнения неголономной механики в общем случае пс имеют инвариантной меры [83]. В работах [79, 83] было показано, что уравнения неголономного качения твердого тела (типа кельтского камня — динамические параметры которого существенно отличаются от геометрических) по плоскости, уравнения задачи Суслова не имеют интегрального инварианта с положительной плотностью. В работе [26] доказано отсутствие инвариантной меры для уравнений качения трехосного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости.
Отсутствие инвариантной меры — характерное свойство неголономных систем. Однако анизотропное трепие в пределе совместно с сохранением полной энергии. На многообразиях уровней энергии могут возникать асимтотически устойчивые положения равновесия или предельные циклы, что препятствует существованию дополнительных «регулярных» интегралов движения.
Явное интегрирование уравнений неголономной механики во многих случаях основано на теории приводящего множителя С.А.Чаплыгина [161]. При этом ищется замена времени (разная вдоль разных траекторий), с помощью которой уравнения движения приводятся к уравнениям Лагранжа или Гамильтона. 392 Приложение А
