Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
= Xl zc^z А-1 = — I zc^z
J у/Щг)' ~ 7rJ у/Щг)'
а і ai
П Ь2
= и [ zdz ,,r1 = lf zdz
hJ V7^M' 7 VхШ
Ol Ol
(В.9)
вводит угловые координаты х, у mod 2-к па Ec, в которых уравнения движения приобретают вид (В.З)
А • ?
у =
ф{х,уУ Ф (х,уУ (ВЛ0)
ф = - и-Цх)У(а -ІШа -и{у)),
где ^(х),г](у) — 27г-псриодические функции от ж и у, получающиеся из обращения абелевых интегралов (В.9). При этом, число вращения касательного векторного поля на двумерных инвариантных торах задачи Чаплыгина равно отношению вещественных периодов абелева интегра-ла
z dz
/
л/Щ^Т
Приводимость системы (В.10) к виду (В.6) и сходимость ряда (В.5) может иметь место не для всех инвариантных торов. Отметим, что в гамильтоповом случае по теореме Лиувилля и в силу существования переменных действие-угол приводимость к виду (В.6) всегда обеспечена. Таким образом, неприводимость уравнений (В.5), (В.10) к (В.6) может рассматриваться как препятствие к гамильтоновости этих уравнений. Вопрос о гамильтоновости уравнений (В.6) был поставлен в [82], но до сих пор не является решенным. Один из возможных вариантов решения этого вопроса состоит в исследовании сходимости ряда (В.5). Отметим, что если приводимость возможна не для всех нерезонансных торов, то на этих торах в отличие от гамильтоновой ситуации происходит «слабое» перемешивание (которое влечет за собой «слабый» хаос). При этом спектр динамической системы на таких торах может быть непрерывным [102], тем не менее, все другие характеристики «настоящего» хаоса (максимальный показатель Ляпунова, энтропия и др.) равны нулю. 396 Приложение А
Замечание 1. Уравнения (В.6) могут быть записаны в виде, близком к га-мильтоновым уравнениям на алгебре so(4) [34]
M = Mxff,
7^-4 X M
где «гамильтониан» H определяется формулой
(В.11)
(В.12)
Уравнения (В.6) могут быть также записаны в форме, близкой к уравнениям Гамильтона на алгебре е(3) [34]:
дн [ '
I = ^xW
Системы (B.II), (В.13) могут быть записаны в скобочном виде і = {z, Н}: однако получающаяся скобка не удовлетворяет тождеству Якоби.
Замечание 2. В статье [122] приведен ряд систем неголономной механики, связанных с качением динамически симметричных тел, которые допускают запись в гамильтоновой форме. Это представление возможно в силу существования первых интегралов, линейных по скоростям.
Замечание 3. Как показал Ю. Н. Федоров [235] после замены времени па нулевой постоянной площадей уравнения (В.С) изоморфны интегрируемому случаю Клебша в задаче Кирхгофа (которая является гамильтоновой).
Замечание 4. В дополнении к книге [72] указано одно из возможных обобщений теоремы Якоби, с помощью которой можно проинтегрировать, например, задачу о движении неголономного шара Чаплыгина в суперпозиции линейных силовых полей (типа поля Бруна) [17]. При этом движение в компактном случае будет происходить по торам (фиксируемыми общими уровнями первых интегралов) размерности т > 2, по существует т — 2 независимых коммутирующих полей симметрий из, ... , ит и инвариантная m-форма ГІ такая, что
LuJl = 0, 3 ^k ^n. Эти условия являются достаточными для интегрируемости в квадратурах. Приложение С Алгебро-геометрические скобки Пуассона и их приложения
1. Уравнения Абеля. Гиперэллиптические кривые. Нахождение точного решения многих интегрируемых задач механики (случай Ковалевской, Клебша и Стеклова в динамике твердого тела, задача Якоби о геодезических на эллипсоиде) приводится к интегрированию системы уравнений Абеля (Абеля—Якоби). Эти уравнения некоторых переменных (Ai,..., Ag), называемых переменными Абеля (введение которых в каждой конкретной задаче является нетривиальным), могут быть записаны в виде
AidAi XU\g r , . n i
1 +... + —JL* =Sidt, % = 0,...,^-1, (С.1)
^ЁЩ) УВД
где 8i,... ,Sg — вещественные числа, зависящие от значений первых интегралов (константы Абеля), R(X) полином степени 2g + 1 или 2g + 2 от Ac вещественными коэффициентами, зависящими от констант первых интегралов. При этом каждая из переменных А і пробегает отрезок, на котором значения полинома R(X) неотрицательны, причем знак корня yjR(X) меняется всякий раз, когда А,; достигает конца отрезка.
В задаче Якоби о геодезических на эллипсоиде переменными Абеля являются эллиптические координаты, в задаче Ковалевской введение переменных Абеля является существенно более сложным и пе имеет естественной геометрической интерпретации. Важной особенностью задач, которые проинтегрированы указанным образом (при помощи сведения к уравнениям Абеля), является то, что их переменные и время, а также замену, определяющую переменные Абеля, можно считать комп-лекснозначными, что мы и будем предполагать в дальнейшем.
Система (С.1) имеет особенности в нулях R(X). В окрестности простых пулей полипома особенность можно устранить, введя новую локальную переменную w2 = R(X). Поэтому правильнее считать, что 398
Приложение А
каждое из уравнений системы (С.1) при фиксированных значениях первых интегралов задано на гиперэллиптической кривой
