Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Г = {w2 = R(X)}, (С.2)
а сама система задана на пространстве точками которого являются неупорядоченные пары (P1,... ,Pg), где Pj Є Г (переменные Абеля определены с точностью до перестановки).
Пусть Mn — пространство допустимых значений первых интегралов, имеющее комплексную размерность п. Каждая точка из Mn — фиксированный набор констант первых интегралов определяет гипер-эллиптическую кривую (С.2). Поэтому это пространство называется многообразием гиперэллиптических кривых. При переходе к переменным Абеля исходная динамическая система переходит в систему (С.1), заданную на пространстве Nn+g, расслоенном над Mn со слоем SsT. Это расслоение имеет особенности в кратных корнях многочлена R(X).
2. Аналитические скобки Пуассона. Следуя работам [44, 45], на фазовом пространстве Nn+g можно определить аналитические скобки Пуассона следующим образом:
1) Пусть А некоторый набор функций на Nn+g, зависящих только от точки базы Mn, т. с. от гиперэллиптической кривой. (В дальнейшем построении Л играют роль центральных функций скобки Пуассона, которая становится невырожденной на многообразиях N^, заданных уравнениями / = const для всех / Є A-, N^ —> Мд, Мд Є Mn).
2) На римановой поверхности Г или на ее накрывающей Г —Г задана мероморфпая 1-форма (?(Г) —> Г:
Q(T) = Q{Г, A) dX.
При этом требуется, чтобы производные Q(Г) вдоль всех направлений базы, касательных к многообразию Мд, были глобально определенными мероморфными дифференциальными формами на самой римановой поверхности Г (а не па накрывающей).
Во всех содержательных примерах оказывается, что форма Q либо мероморфна на Г с самого начала, либо мероморфна на регулярной накрывающей Г с абелевой группой монодромии, причем образ групп гомотопий пі (Г) —7ГіГ порождается набором циклов с нулевыми попарными индексами пересечений.
Если замкнутая 2-форма
OJQ = ^ dQ(r, Xj) A dXj Алгебро-геометрические скобки Пуассона и их приложения
399
невырождена в точке общего положения области Na и пара (A. Q) обладает приведенными выше свойствами 1) и 2), то говорят, что задана аналитическая скобка Пуассона с аннулятором на открытой области Nn+g (при этом размерность N^ должна быть равна 2g).
Из этого определения вытекают следующие свойства скобки Пуассона:
Кроме того, для любых двух функций g, h, определенных на пространстве Mn:
Приведенные выше определения являются абстрактными. На самом деле, именно такого рода скобки Пуассона индуцируются с фазового пространства исходной динамической системы. При этом выполнение условий коммутации (С.З) для всех этих интегрируемых проблем является скорее неожиданным, чем очевидным фактом.
3. Переменные действие. А.П. Веселов и С.П.Новиков нашли 1-форму Q для интегрируемых случаев Горячева—Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела, а также в бесконечномерном случае — для уравнений Кортевега—де Фриза. Они также показали, что переменные действия Jj, канонически сопряженные угловым переменным на торах Лиувилля, задаются формулой
где интегрирование производится по элементам группы і?і(Г \ Р, Z), где P — набор полюсов формы Q.
Переменные действия для волчков Горячева Чаплыгина и Ковалевской приведены, например, в обзоре [60]. (Отмстим, что классический метод определения переменной действия, основанный на нахождении разделяющихся координат, не пригоден для нахождения переменной действия в случае Ковалевской). Переменные действия для интегрируемого случая Стеклова—Ляпунова уравнений Кирхгофа найдены в работе [133].
При решении задачи о нахождении точного решения какой-либо динамической системы вид формы Q не известен заранее. Заметим,
{ЛІ, Aj} = 0, (Q(Ai)5 Q(Ai)) = 0, {Q(A;), Ai) = Sij U5AiI = U1Q(Ai)I = O, /є Л.
(С.З)
ШГ),й(Г)} = 0. 400
Приложение А
также, что перейдя от исходных уравнений к системе уравнений Абеля, мы получаем пуассонову структуру на Nn+g в несколько ином виде. Рассмотрим алгебраически интегрируемую гамильтопову систему с g степенями свободы. Пусть /i, /2,... , fg — ее независимые первые интегралы, не являющиеся центральными функциями скобки Пуассона (Ji есть гамильтониан Н). По определению алгебраической интегрируемости, данному в [175], потоки всех первых интегралов линеаризуются на якобианах отображением Абеля. Взяв произвольный линейный поток на якобиане и применив отображение, обратное преобразованию Абеля, для каждого из интегралов fj получаем систему уравнений Абеля, аналогичную (С.1):
AidAi \'d\g ¦
1 + ¦¦• + —?=JL= =S3i dt, i = 0,...,g-l (С.4)
с некоторыми константами S3i. Каждая из систем эквивалентна системе
Ai = (С.5)
где
Д = det P = det
Д
/ 1 1 ... 1 \
A1 A2 ... А
VAf"1 АГ1 ••• Af-1/
a A3i есть определитель матрицы, которая получается из D заменой г-го столбца столбцом (S(,..., S3g)T. В качестве локальных координат на фазовом пространстве Nn+g можно взять первые интегралы fi,... , fg и дополнить их функциями Казимира / Є Л. Тем самым мы однозначно зададим кривую Г. В качестве оставшихся g переменных возьмем переменные Ai,... ,Ag- на пространстве SsT1. Тогда на фазовом пространстве Nn+g индуцируется следующая структура:
