Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
С.А.Чаплыгин привел ряд систем неголономной механики, среди которых особое место занимает задача о качении динамически несимметричного уравновешенного шара (шара Чаплыгина) по горизонтальной плоскости [162], интегрируемость которой связана с наличием инвариантной меры. Приведем современную формулировку теоремы Эйлера—Якоби [4], определяющей условия интегрируемости таких систем.
1. Теорема Эйлера—Якоби. Пусть дифференциальное уравнение
і = /(х), (В.1)
определяющее фазовый поток gобладает интегральным инвариантом с некоторой гладкой плотностью М(х), то есть для любой измеримой области D С Mre и для всех t выполнено равенство
j М{х) dx = JМ{х) dx. (В.2)
g'(d) d
Согласно теореме Лиувилля гладкая функция М: W1 —> Ж является плотностью интегрального инварианта f М(х) dx тогда и только тогда, когда div(M/) = 0. Если М(х) > 0 для всех х, то формула (В.2) определяет меру в К", инвариантную относительно действия g. Еще Эйлером было показано, что при п = 2 и наличии инвариантной меры (интегрирующего множителя) система интегрируется в квадратурах. Используя классические результаты Эйлера и Якоби (теория интегрирующего множителя) и теорему А. Н. Колмогорова о приводимости дифференциальных уравнений на торе с гладкой инвариантной мерой [102], можно сформулировать следующий результат [4]
Теорема. Предположим, что система уравнений (В.1) с инвариантной мерой (В.2) имеет п — 2 первых интеграла Fi,... ,F2. Пусть на общем уровне первых интегралов Ec = {х Є Ж™ : Fs(x) = Cs}, 1 ^ s ^ п — 2 функции Fi,... ,Fn^2 независимы. Тогда
1. решения уравнения (В.1) лежащие на Ec находятся в квадратурах;
2. если Lc — связная компактная компонента множества уровня Ec и /(ж) ф 0 на Lc, то Lc — гладкая поверхность, диффеоморфная двумерному тору; Неголономные системы, приводимость и гамильтоновость
393
3. на Le можно подобрать угловые координаты (х,у) mod 2тг так, что в этих переменных уравнение (В.1) на Lc приняло бы следующий вид:
±= ф?у)> 6 = Щ^уУ (в-3)
где A. /I = const. A2 + /і2 ф 0. а Ф(.т. у) — гладкая положительная функция, 2%-периодическая по х и у.
Уравнения (В.З) имеют инвариантную меру j"JФ(х,у) dx dy и
усредняя правые части (В.З) по этой мере, получим дифференциальные уравнения
А „•, _ ?
4тг2
v=v, и =
it a Zi /і
^ J f$(x,y)dxdy. (В.4)
о
Из результатов [102] следует, что если Ф: T2 —> M гладкая (аналитическая) функция, то почти для всех пар А, ? Є Ж2 существует гладкая (аналитическая) замена угловых переменных х,у —> u,v, приводящая систему (В.З) к системе (В.4). Приводимость системы (В.З) к системе (В.4) зависит от арифметических свойств отношения ш = , которое называется числом вращения касательного векторного поля на торе T2 = {(х,у) mod 27г}. В частности приводимость обеспечена при выполнении диофантова условия сильной несоизмеримости: существуют такие с > 0 и h > 0, что при любых целых т > 0 и п > 0 справедливо неравенство |то — пш| ^ chn, которое выполняется для всех ш, кроме множества лебеговой меры нуль.
Можно сформулировать простое необходимое условие приводимости [77, 79]. Пусть Ф(х,у) = Yi Фт,п ехр[/(тол;+-ш/)], фт.п = ф_т_п. Если дифференцируемой заменой угловых переменных систему (В.З) можно привести к виду (В.4), то ряд
E
Н + |п|#0
тоА + ар,
< OO (В.5)
сходится
Р2
При резонансном и> тор T расслоен на семейство замкнутых траекторий. В этом случае условие приводимости эквивалентно равенству периодов обращения по различным замкнутым траекториям. 394
Приложение А
В общем случае, когда разложение Фурье функции Ф содержит ненулевые гармоники, точки (Л, /х) Є M2 с рационально независимыми (A, для которых ряд (В.5) расходится, всюду плотны в M2.
2. Задача Чаплыгина. В качестве примера рассмотрим задачу о качении неголономного шара Чаплыгина по горизонтальной плоскости [162]. Уравнения движения шара в проекциях угловой скорости ш E I3 и орта вертикали 7 Є Ж3 на главные центральные оси, жестко связанные с шаром имеют вид
M = Mxw, 7 = 7хш, >
M = Ilo + D1 х (ш х 7),' D = та2, [ j
где I — тензор инерции шара относительно его центра, т — масса шара, а — его радиус. Уравнения (В.6) имеют инвариантную меру с плотностью
M= _ 1 A = (I + DE)'1. (В.7)
у/1-0{АЪ1)
Четыре первых интеграла F4 = (М,ш), F2 = (Af7), F3 = (7,7) = 1, F4 = (М,М) обеспечивают интегрируемость системы (В.6) в квадратурах.
Наиболее просто уравнения (В.6) интегрируются в случае, когда постоянная интеграла площадей F2 = (М, 7) равна нулю. В эллиптических координатах ?, v на сфере Пуассона (7,7) = 1 уравнения движения на общем уровне первых интегралов имеют вид [79, 162]
? у/ш . уад
S(C1-V-1WbV)' V(C1-V-1MbV)' (В.8)
Ф = л/(а-$,)(а- У).
Коэффициенты многочлена Pj(degP5 = 5) и постоянная а зависят от параметров задачи и констант первых интегралов, а переменные г/ изменяются в различных замкнутых интервалах ai ^ ? ^ а2, bi ^ V ^ Ь2, где полипом принимает неотрицательные значения. Неголономные системы, приводимость и гамильтоновость
395
Замена переменных
