Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. 5 были рассмотрены задачи, для которых существование пуассоновой структуры не очевидно заранее и не следует из физических соображений. В более общей постановке может быть поставлен вопрос о гамильтоновости (пуассоповости) динамической системы, заданной дифференциальными уравнениями
і = v(x), X € Mn. (A.l)
Эта задача впервые обсуждалась, по-видимому, в работе [90]. При этом предполагается, что v(x) — аналитическое (алгебраическое) векторное поле на многообразии Mn. Если система (А.1) гамильтонова, то существуют функция Н(х) и структурный тензор J4 (х) такие, что векторное поле v(x) можно представить в виде
п
vi(x) = y JijW gj- (А.2)
Если ограничиться только алгебраическими (или даже квадратичными) системами (А.1), то и функции J4 (х), H(х) следует искать в алгебраической (однородной) форме. В этом разделе мы сформулируем ряд проблем, для которых вопрос о пуассоновости до сих пор остается открытым. Для некоторых из них содержательными являются также вопросы о существовании дополнительных первых интегралов и других тензорных инвариантов. Условия гамильтоновости линейных систем расмотрены в [88].
Замечание 1. Как было известно еще Лиувиллю, любую систему (А.1) можно записать в гамильтоновой форме, если к координатам х добавить импульсы у и рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом H = (у, v(x)). Однако, такая искусственная гамильтонизация системы, увеличивающая в два раза ее размерность и приводящая к вырожденному по импульсам гамильтониану, мало интересна для теоретических исследований. 384
Приложение А
Замечание 2. С аналитической точки зрения вблизи каждой неособой точки любая динамическая система па четпомерпом многообразии является га-мильтоновой [11] (для нечетномерных систем тоже гамильтоновой, но с вырожденной скобкой Пуассона). Это следует из теоремы о выпрямлении в подходящих локальных координатах система может быть записана в виде Xi = 1, х-2 = ... = х-2„ = 0. При этом скобка Пуассона определяется формулой
а функция Гамильтона H равна жп+1- Таким образом, вопрос о гамильто-новости является содержательным либо в окрестности особой точки, либо в области фазового пространства, где траектории обладают свойством возвра-щаемости (в окрестности периодической орбиты). Как отмечено в [91], эта задача пока совсем не изучена.
Замечание 3. Вопрос о гамильтоновости и существовании инвариантной меры для системы, близкой к интегрируемой гамильтоновой, рассмотрен в работе [89], где используется метод малого параметра Пуанкаре. Лиувиллевы замены времени, сохраняющие гамильтоновость, изучались в [42].
Замечание 4. Для вариационных задач с высшими производными существует обобщенное преобразование Лежандра, основывающееся на теореме Остроградского [3, ol], в невырожденном случае приводящее систему к гамильтоновой форме.
Замечание 5. Уравнения механики Биркгофа в стационарном случае имеют вид [11]
где щ,В некоторые гладкие функции переменных х (В функция Биркгофа или биркгофиан).
При четном п и при условии невырожденности матрицы rot, и уравнение (А.З) определяет однозначное векторное поле в переменных (жі, . . . , Xn).
В этом случае уравнения (А.З) являются гамильтоновыми с гамильтонианом В и невырожденной пуассоновой структурой, определяемой 2-формой
(rotu)i=^, XGRn
(А.З)
ІЇ = d Ujdxj = ^pidxi A dxj = ^^
du
дх і dxj
Out
dxi A dxj
Как показано в [91] гамильтоновость уравнений Биргкофа сохраняется и в общем случае. Распознавание гамильтоновости динамических систем 385
В случае уравнений (А.З), а также для вариационных задач с высшими производными [3], гамильтоновость является следствием возможности получения уравнений динамики из вариационного принципа Гамильтона.
1. Обобщенные уравнения Пуассона. Вопрос об интегрируемости уравнений
где М, 7 — векторы в M3, А, В являются диагональными матрицами с компонентами ai ф а2 ф а3 ф «і, Ь\ ф Ь2 ф Ь3 ф bi был поставлен и исследован в работах [34, 35].
В случае A = B уравнения (А.4) описывают интегрируемый случай Эйлера—Пуансо (движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции). При этом второе уравнение совпадает с уравнениями Пуассона, описывающими эволюцию неподвижного орта вертикали в осях, жестко связанных с твердым телом. В общем случае система (А.4) может быть получепа из гамильтоповых уравнений Эйлера на алгебре so(4) при помощи предельного перехода. Действительно, уравнения (А.4) могут быть получены при замене 7 Є7 в уравнениях Гамильтона на so(4) (см. §1, гл. 2):
Этот предельный переход не сохраняет первоначальную (на .чо(4)) пуассонову структуру. Однако, при этом возможно, что уравнения (А.4) будут гамильтоновы в новой пуассоновой структуре. Система (А.4) обладает интегралами
и стандартной инвариантной мерой. Для поиска интегралов удобно сначала определить поля симметрии (А.4), задаваемые векторным полем
M = Mx AM, 7 = 7 x bm,
(А.4)
где
Я = І (AM, М) + (ВМ,7) + i(C7,7).
1
J1 = i(M,M), /2 = І(М,АМ), J3 = 1(7,7)
х' = w(x),
(А.5) 386
Приложение А
