Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
285 Прямое вычисление приводит к формулам
I=W-II. <6.4>
M = JiO+ (OJ + CS +SC + D, =
\ /а
Поэтому уравнения Лагранжа имеют вид
Tf^--01 = {(м-IM, O)]-
-|Ca> + G)C-g, ^?"^ = 0. (6.5)
Эти уравнения эквивалентны матричному уравнению
M = IM, ©] + [Ссо + (йС - g, Sj, (6.6)
где матрица M определена формулой (6.4).
Если матрицы JaC симметрические, а матрицы D и X косоеимметрические, то алгебра Ли косо сим м о три ч е -ских матриц SO (га) является инвариантным подмногообразием для уравнения (6.6), что и доказывает утверждение 1.
Предположим, что все собственные числа матрицы х различны. Тогда стационарная подгруппа Г» матрицы х в присоединенном представлении группы Ли SO (п) является тором Tr размерности г = rang SO (га) = [n/2]. По определению элементов Qx<= Гх имеемQxlxQx = х- Группа Ли Г* действует на пруппе Ли SO (и) левыми сдвигами: Q QxQ; дри этом действии матрицы сO = Q-1Q и S = Q~lxQ не меняются. Поэтому коммутативная группа Ли Tx = Tr является ируппой симметрий лагранжиана (6.3). Орбита Ox матрицы х в присоединенном представлении группы Ли SO (га) является факторпространством SO (га)/Г*.
Выделим однопараметрические подгруппы в Г*, имеющие вид Qh(s) = ex$(sx2h~l). Интегралы Нётар определяются по формулам [120]
.....- «
286 Jlf ,,о.'іьзуя формулы (6.4), получаем
7,((2, Q) = Tv(MQ-1x2k-lQ) = Tr(MS2k-{). (6.8)
Вследствие коммутативности группы Ли Гж возможно понижение порядка лагранжиана (6.3) по Раусу при фиксированных значениях интегралов Jh. В результате получаем
Утверждение 2. Лагранжева система с лагранжианом (6.3) на группе Ли SO (п) эквивалентна семейству лагранжевых систем на орбите Ox, зависящему от значений первых интегралов Ji, ..., Jr-
В локальных координатах q\, ,.., qN на орбите Ox лагранжиан редуцированной системы имеет стандартный вид Li = T2 + Т\ + U, где T2 — квадратичная функция от qt, Ti — липейная функция от q{, U (q) — потенциальная функция.
III. Определим алгебру Ли A, dim А = 2 dim SO (п) = = п(п— 1). Элементами алгебры Ли А являются пары кососимм етрическиX матриц IM, 5} со следующими коммутационными соотношениями:
[{Ml, Si), IM2, &}] = №, M2], [Ml, S2] +[Si, M2]).
(6.9)
В частности, пары (О, S} образуют коммутативный идеал •А. Пусть G — группа Ли, соответствующая алгебре Ли А.
Следующие 2г функции являются аннуляторами скобок Пуассона в пространстве функций на сопряженном пространстве Л*:
Jh=Tv(MS2h-I), Jr+h = Tr(5й-1), A = l, ..., г. (6,10)
Поверхность постоянного уровня аннуляторOB (6.10) определяет орбиту 0{М, S} присоединенного представления группы Ли G. Используя интегралы (10), несложно показать, что OlM, S) = T*Ox (см. также [149]).
IV. Дополнив уравнение (6.6) уравнением, следующим из определения матрицы S, получим замкнутую систему уравнений
M--
[М, ш] + JCCO + (Ос - g, 5
S=IS1 ю], (6.11)
>де матрица M определена формулой (6.4). Уравнения (6.11) являются уравнениями Эйлера в сопряженном
287 пространстве А* к алгебре Ли А (6.9) и имеют гамильтониан
Я = Tr
?
-J (/to + со/) со
+ V(S). (6.12]
Орбиты OiM, S} инвариантны относительно системы (6.11). Нетрудно проверить, что авнуляторы Ji, ..., J2г являются первыми интегралами системы (6.11). Согласно общей теории [120] уравнения (6.11) гамильтошовы на орбитах 0{М, S) = Т*Ох в симплектической структуре, определенной структурой алгебры Ли А (всюду S = = Q-1XQ).
Теорема 4. Уравнения Эйлера (6.11), (6.12) в сопряженном пррстранстве А* при фиксированных значениях интегралов JT+\, • ¦ -, J2T (6.10) (т. е. фиксированы матрица х и орбита Ox) являются редукцией лагранжевой системы на группе Ли SO (га) с лагранэюианом (6.3). Уравнения Эйлера (6.11), (6.12) на орбитах 0{М, S) = = Т*0Х эквивалентны лагранжевым уравнениям на орбитах Ox, причем соответствующий лагранжиан L\ получается из лагранжиана L (6.3) понижением порядка по Раусу в силу наличия группы симметрий Yx = Tr.
Доказательство основано на вычислениях п. II и' на совпадении интегралов Нётер (6.8) и первых г интеотра-ло® (6.10). Справедливы обобщения теоремы 4, где группа Ли SO (га) заменяется на произвольную полушростую группу Ли.
V. В трехмерном, случае перейдем к векторной записи уравнений Кирхгофа (6.1). Воспользуемся изоморфизмом векторов со є R3 и матриц со є so (3):
Mi Mjh = - MiSijk, (М, to) = - 4 Tr (Ma),
~ ~ 4 ~ (6.13)
/(o-v/o + со/, J = j(TtI)E — I, (TW(T1e)?.
Здесь I — симметричный оператор, Q — ортогональны!? оператор. В силу (6.43) лагранжиан —Lj2 имеет вщ (см. (6.3), (6.4))
L2 = і (М, о) + (Ca, q) + (d, ш) - V (q), (6.14;
где M = let + Cq + d, q — вектор Пуассона, соответствующий матрице S, q = (Т'е; d и е — постоянные векторы, 7 и С — операторы. Уравнения Эйлера (6.11) принимают
288 вид уравнений Кирхгофа
dV
м = мх*> + <іХи, q=qXw, u = — c® + -^.
(6.15)
Я = (Г1 (М - Cq), (M - Cq)) -(7"1 (M - Cq), d) + F(q).
VI. Рассмотрим вращение электрически заряженного твердого тела T (с плотностью электрических зарядов G (г)) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном ноле с ,напряженностью Нив некотором осесимметрич-HOM силовом поле (например гравитационном), ось симметрии которого q параллельна вектору Н, H = #0q. Соответствующая функция Лагранжа имеет вид
