Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
> я,- > ак либо Ь{ > bj > bh, либо bt < b, < bk. Пусть яі >
> я2 > я3, тогда в силу (4.13) ai, ?i вещественны, a2, ?2, х, у мнимые. Интеграл /4 при этом имеет вид
+
<„„ _ „,).'.д г + (<°'-;;>Д-*'>уЧ)'. (4.14)
Условия (4.12) (п< = Tni = 1) не меняются при перенумерации осей. Поэтому уравнения (4.1) при тех же значениях коэффициентов Яі, bi, Ci имеют еще две другие пары решений, отвечающие перенумерациям переменных 2 ->- 3, 3-+2 и 1 3, 3 -»- 1, которым соответствуют два других
276 интеграла уравнений Эйлера ,(1.4):
Л + (Iv^zbi)-Jt1)'-
Л - (<„ - + ('V-^Д-''¦>)'%»)' + <4',5>
Интегралы Jz и Je линейно выражаются через интегралы Ji, J2, J3, Ji' при выполнении связей (4.12) справедливы тождества:
2J1 — (а2 — C2IP1(Pg1)J2 — (h — ^ФзФГ1) Z3 —
— Pi (<?2ФS1J4 — 5) = О,
2 J і — (вх — ^ФафГ1) J2-{bi — СіФзФ^1) J з — (4.16)
— P2 (сіфГ1^4 + СдфГ1/в) = О,
Pi = (0? - а3) (Ъ2 - &з))-1/2, Р2 ='((аі - а3) (Ьі - Ьз))"1/2.
Орбиты O (/2 = с2, J3 = сз) в случае алгебры Ли SO'(4) являются компактными многообразиями Mi = S2 X S2. Множества минимумов интегралов Ji, Je и седел интеграла J5 определяются двумя условиями и образуют на многообразии Jti три двумерных тора Tf. Пересечения этих торов с поверхностью уровня гамильтониана Ji = Const являются замкнутыми траекториями уравнений (1.4), которые могут быть проинтегрированы явно в эллиптических функциях времени. Эти траектории на трехмерном многообразии JCi совместного уровня интегралов Ji, J2, J3 являются в силу тождеств (4.16) множествами минимумов, максимумов и седел функции /4.
В предельной ситуации bi = b2 = Ъ3 = Ъ существуют интегрируемые случаи, определяемые двумя связями
C1C2C3 (с3 — C1 ) = Ci1 — а3, C1C2C3 (с2 — с32) = а3 — а2
(4.17)
и содержащие поэтому пять свободных параметров: Коэффициенты сц, X имеют вид (4.13), P1 = c3ai/c2, ?2 = Cga2Zc1, у = 0. Аналогично предыдущему уравнения Эйлера (1.4)
277 при выполнении связей (4.17) имеют дополнительный интеграл
Ji = (а, - аз) (M1 + C3KlZc2)2 + (а2 - аз) (M2 + C3K2Zg1)2
(4.18)
и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю (на орбитах О).
§ 5. Физические применения уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO (4)
I. Рассмотрим уравнения Эйлера (1.4) на алгебре Ли SO(4) = SO(3) ® SO(3) (Bi = TOi=I) с квадратичным гамильтонианом общего вида
2/7= S (ацМгМ.; + IciiMiKi + ItiiKiKi). (5.1) і J=1
Гамильтониан (5.1) зависит от 21 параметра a«, bih с«.
Специальным случаем уравнений Эйлера (1.4) являются классические уравнения движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145—148]. Эти уравнения в самом общем случае содержат 12 параметров, определяющих компоненты тензора инерции твердого тела Iih и расположение эллипсоидальной полости (Dih). В частности, в случае диагональных матриц а«, 6«, сі} (заполняющих девятимерное пространство F9) гамильтонианы, описывающие динамику рассматриваемого объекта, образуют шестимерное подмногообразие F6 в F9. Новые интегрируемые случаи, найденные в § 2 ((2.3) и (2.9) ), зависят от трех произвольных параметров, и их пересечение с многообразием F6 тривиально, т. е. эти случаи не соответствуют указанной физической задаче. Интегрируемые случаи (4.12) зависят от шести произвольных параметров, поэтому их пересечение с подмногообразием F6 не более чем трехмерно. Это трехмерное семейство интегрируемых случаев и было указано В. А. Стендовым в работе [106].
II. Для нахождения физических применений более широкого класса уравнений Эйлера на алгебре Ли SO (4) рассмотрим динамику твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Выделим систему отсчета S, жестко связанную с твердым телом, центр которой О находится в цент-
278 ре масс. Занумеруем эллипсоидальные полости индемвбЛ а = 1, ..., п; пусть га, г®, г„ — координаты их центре®, Da — симметрические операторы, преобразующие единичный шар в эллипсоидальную а-полость. Собственные числа da і, da 2, da з оператора Da являются полуосями соответствующей полости, da = detDa = daidaidaz- Каждая полость целиком заполнена идеальной несжимаемой жидкостью ic постоянной плотностью pa и полной массой
Hla= 4ярайа/3.
Вращение твердого тела вокруг центра масс определяется ортогональной матрицей Q (?). Движение жидкости в каіжідой полости удовлетворяет уравнениям гидродинамики
р dvldt = — grad р, div v = 0, (5.2)
где р — плотность жидкости, V — скорость жидкости, р — давление. В дальнейшем предполагается, что движение жидкости в каждой полости является движением с однородной деформацией (см. [158]), т. е. определяется следующим преобразованием из лагранжевых координат ак (пробегающих единичный шар (а1)2 + (а2)2 + (а3)2 < 1) в эйлеровы 'координаты хг:
Xi= Il (Fiak (t) Oh + Qirka), Fa = QDaQa, (5.3)
k= 1
где Qa{t) — ортогональная матрица, определяющая вращение жидкости в сс-по л ости относительно твердого тела.
Уравнениями движения твердого тела с п полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, являются уравнения гидродинамики (4.2) в каждой полости и закон сохранения полного момента импульса. Введем обозначение
