Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
0Ci?i«2 + a,2?2rci = 0, (4.3)
и выражения для Gi через CZj, ?A, х, у:
тг3(а, - xbi) = (хС + уВ),(2а$2)~\ Ti3 (а2 - кЬ2) = (хС - уВ) (2cci?i)-1, тц{аз-кЪз) = (-хА + yD) (2^)"1, (4.4)
А = oci?2 + a2?i, В = аііаг — x?i?2; С = oci?2 — cc2?i, D = аі«2 +, x?i?2.
Рассмотрим следующие две пары уравнений (4.2): первое и третье, пятое и седьмое; после подстановки в
18 О, И. Богоявленский
273 шх кЬі = а{ — бі в силу (4.4) лето ,находим выражения п2а3 — п3а2 = (Xa1Cs2 — x?j (хА + г/5)./2ocj) (a® — x??)-1, п3ах — HlCi3 = (XOC1CX2 — x?2 (х/1 + уВ)/2а2) (а2 — x?g)-1,
(4.5)
^2C3 - /?? = (хС + уВ) 2-1 (а? - x?2)"1 W3C1 — U1C3 = (—хС + уВ) 2-1 (ос2 — x?a)-1.
Из оставшихся двух пар уравнений выражаем г,-, q, через параметры ^i, ос,, ?*, х, у:
_ <v — ?2® _ «ty —
rI - Yl „2 „Q2' r2 — — ?2 2 _ „o2 '
2 ?R2 1 7 (4.6)
а г — x? у ах — x? у
?1 = ^ = Г,-?,-0.
Уравнения (4.4)-(4.5) не меняются при преобразовании a, -+Cai, ?i C?i, поэтому их правые части на уровне связи (4.3) зависят от четырех бвободных параметров. Коэффициенты Cti7 bi, Ci при X Ф 0 определены уравнениями (4.4) — (4.5) с точностью до преобразований с двумя параметрами Ti, T2:
?i -»- CLi + TiiiKTi, b(->- b( + TiiTi, Ci Ci + TiiT2.
Поэтому 9 коэффициентов ?i, bi, Ci, удовлетворяющих связям (4.3)-(4.5), имеют 6 свободных параметров. Параметры осі, ?i, Ti принимают произвольные вещественные значения, параметры сс2, ?2, "(2, х, у могут быть либо одновременно вещественными, либо одновременно мнимыми — при этом выражения (4.4) — (4.6) являются вещественными; значения параметров 71, 42 в остальном произвольны. В результате проведенных рассуждений доказана Теорема 2. Уравнения Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А при х Ф 0, для которых коэффициенты а,, bi, Ci, r,, Qi выражаются в силу (4.4) — (4.6) через параметры ос,-, ?i, х, у, 4h удовлетворяющие одной связи (4.3), имеют дополнительный первый интеграл
Ji = z+z_ = (сC1M1 + ^1JT1 + пзь)2 ~(V2M2 + P2X2 + П342)2
(4.7)
и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах 0(J2 = с2, /з = Сз).
Если X = 0, то из уравнений (3.2) следует, что коэффициенты а{, bi, Ci должны удовлетворять следующим
274 связям (г, /, к = 1, 2, 3): Wj (п^аГ1 — MjajT1) («)Ci — TliCjy1 =
= /їй («іаГ1 — Tibflb1) (пьРі — UiCh)-1, ^ ^ щп]п1Ъг — Пі (UjCh — UhCjf аТ1 =
= HiHjnlbj — Hj (HiCk — HhCifaJ1. При этом коэффициенты а,-, ?,, х, у имеют вид осі = С (щах - Wi(Z3)172, Ct2 = С (п2а3 —н3а2)т, х = Ct1Ct2C-2, у=(пхОъ+н2ах) (тех — WiC3) V2(n2c3 — n3c2)U2 (nxn2axa2)-l/2, ?x = — уа^щ1 (ща2 + W2O1)-1, ?2 = — ^а^а^щ1. (4.9)
При выполнении соотношений (4.8) — (4.9) уравнения (1.3) имеют дополнительный интеграл (4.7) и являются поэтому вполне интегрируемыми. Связи (4.8) при Hi = 1 определяют интегрируемые случаи В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова для уравнений Кирхгофа.
II. Для алгебр Ли класса В (1.2) уравнения (4.1) в силу уравнений Эйлера (1.4) приводят к следующей системе алгебраических связей на коэффициенты:
а2(п3ах — Wia3)= гаї, ах (п2а3 — н3а2) = ха2,
Рг(т3&і - TOift3) = г/?i, ?i (тп2Ъ3 - тпгЪ2) = у$2,
а2п3с2 — ?2mic3 = z?i, -Ct2W1C3 + ?2m3ci = уа ь
-Ct1W3C2 + ?im2c3 = x?2, Ct1W2C3 — ?i?w3c2 = уа2,
и уравнениям, явно выражающим коэффициенты г<, qc.
П = Jzre3iYiZm3P2, г2 = -унг^/тп^х, qx = Xf1Za2, q2 = —аг^г/аі, r3 = ?3 = 0.
Из первых двух пар уравнений (4.10) легко находятся коэффициенты X, у И ctj, r?j (с неизвестным множителем т). После этого из третьей и четвертой пары уравнений (4.10) находятся величины Ci и множитель т. Окончательно получаем, что коэффициенты а,-, Ь„ Ci связаны тремя соотношениями:
Ci = («іФІ — тіфГ1) ?фіф2ф3> ? = 1,2,3, Фі = ((nsah — nhaj)/(mjbk — mhbj))1/2, (4.12)
q = (niibj — THjbi) (н^Шіq>j — WiTOjrpf)-1 (легко проверить, что q не зависит от индексов і, /, іФ j). 18* 275 Остальные коэффициенты с точностью до общего множителя при Oi, ?i имеют вид
Cti = (Пфх - щаъ)1/2 OC2 = (пгЯ3 - тг3я2)т, х = CCia2,. ?i = 7?"? 1Cp3 А — m A)l/2, ?2 = ЩГП31 Фз (m2b3—m3b2)l!2,
(4.13)
у =ітзЬі - гп\Ьг)т{т2Ъъ - т3Ь2)т.
Таким образом, при я;, 6,-, сг, удовлетворяющих связям (4.12), и п, <7г, заданных соотношениями (4.11), уравнения (4.1) имеют решения zE, wz, определенные формулами (4.13).
Проведенные рассуждения доказывают следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнения Эйлера (1.4) для алгебр Ли класса В при выполнении связей (4.12), (4.11) имеют дополнительный первый интеграл /4 = z+z_ вида (4.7) и являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах О.
III. Интегрируемый случай (4.12) для алгебры Ли SO (4) (щ = Tni = 1), содержащий шесть произвольных параметров at, Ъ,, является обобщением трехиараметриче-ского семейства интегрируемых случаев В. А. Стеклова [106, п. 42]. Формулы работы [106, п. 42] настолько сложны, что никакое исследование этого интегрируемого случая не было проведено. Укажем некоторые свойства более общего интегрируемого случая (4.12) (при г,=
= 9, = 0).
Из условия вещественности коэффициентов Ci, удовлетворяющих соотношениям (4.12), следует, ЧТО при Яі >
