Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Богоявленский О.И. -> "Опрокидывающиеся солитоны" -> 86

Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны — М.: Наука, 1991. — 320 c.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка): oprokidivauesoliton1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 97 >> Следующая


L3 = і (М, ю) + і j (A, v) о (г) d»r - V (q), (6.16) т

где с — скорость света, v = со X г, вектор-потенциал А = у 770q X г- Вычисляя интеграл в (6.16), получаем

L3 = -і (М, со) + і H0 (0), 7eq) - V (q), (6.17)

где тензор Ie имеет компоненты

Ieik = J (бік і (rlY - nrh j a (r) d3r.

Лагранжиан (6.17), очевидно, относится к типу (6.14). Поэтому в силу теоремы 1 соответствующие уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Эйлера на алгебре Ли E3 с гамильтонианом вида (6.15).

В работе [150] путем прямого сопоставления уравнений движения установлено, что уравнения вращения электрически заряженного твердого тела в постоянном машинном поле являются специальным вырожденным случаем уравнений Кирхгофа. Этот факт получает простое объяснение после доказательства теоремы 1 о лаг-ранжевой структуре уравнений Эйлера на алгебре Ли Ел. Действительно, уравнения вращения твердого тела в рассматриваемом случае являются лагранжевыми ,на группе Ли SO(3) с лагранжианом L3 (6.17) при F(q) = 0, а этот лагранжиан является специальным случаем общих лагранжианов (6.14) уравнений Эйлера на E3 (уравнений Кирхгофа).

19 О. И. Богоявленский

289 Лагранжев подход показывает, что уравнения Кирхгофа с произвольным потенциалом V(q) в (6.16) имеют важный физический смысл — это уравнения вращения электрически заряженного тела (являющегося гиростатом при d Tt 0) в постоянном магнитном поле и осесимметрич-HOM силовом поле. В случае квадратичного невырожденного потенциала F (q) получаем классические уравнения Кирхгофа с однородным квадратичным гамильтонианом Н2(М, q) вида (6.1), где pt заменено на qu Никаких физических ограничений и связей на коэффициенты гамильтониана H2 нет, нроме известных ограничений на компоненты тензора инерции Ik = ^iT1. Вследствие этого все классические интегрируемые случаи для уравнений Кирхгофа [119] реализуются также в задаче о вращении электрически заряженного твердого тела в постоянном магнитном и осешмметричном силовом поле с квадратичной потенциальной функцией F(q) (некоторые интегрируемые случаи найдены в [151]). ГЛАВА XII

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВРАЩЕНИЯ ПУЛЬСАРА

Пульсары (!нейтронные звезды) согласно современным представлениям [152] имеют твердую оболочку и жидкое ядро, которое обладает высокой проводимостью (жидкость является плазмой) и имеет сильное вмороженное магнитное поле; основная масса пульсара заключена в жидком ядре. Периодически происходят «зв&здо-трясения» пульсара, наблюдаемые їв виде сбоя периода его вращения. В промежутке времени между двумя такими явлениями реализуется асинхронное вращение ядра и оболочки пульсара. Время релаксации для пульсара Вела (PSR 0833-45) т ~ 6 лет, тогда как период вращения P = 0,089 с. Поэтому влияние вязкости крайне мало и в качестве модели ядра можно рассматривать идеальную несжимаемую маювитную жидкость-.

В данной главе предлагается модель йращеяия пульсара, учитывающая магнитные свойства ядра и асинхронное вращение ядра и оболочки (§ 1). Модель применима в течение конечного отрезка времени t: P ^t < т в интервале между двумя «звездотрясениями», когда можно пренебречь потерями энергии на вязкое трение и электромагнитное излучение.

Динамическая система, описывающая вращение модели пульсара, выведена в § 2 и состоит из девяти обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих простую векторную запись (2.12). Эта система имеет четыре первых интеграла Jh, причем Ji является интегралом полной энергии пульсара, J2 является квадратом полного момента импульса, J3 определяет величину вмороженного машинного поля, a Ji определяет скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора напряженности магнитного поля (§3).

Важнейшим математическим вопросом в исследуемой модели является наличие периодических решений, поскольку вращение пульсара в течение длительного вре-

19* 291 мели является периодическим с высокой точностью. В § 4 показано, что на многообразиях уровня первых интегралов Ji = 1ч, Ze4 = О существуют 12 замкнутых траекторий динамической системы (для целой области значений констант ki). Эти траектории прошттеприро ват:ы в явном виде в эллиптических функциях времени. В рассматриваемой модели обнаружены машнитаротаци&ншые колебания, для которых угловая скорость вращения пульсара периодически меняет знак; такие колебания принципиально связаны с наличием магнитного поля. Выведена формула (4.12), выражающая минимальный период вращения и магниторотационных колебаний пульсара через его физические параметры. Для реальных значений параметров предсказываемый период вращения Tо « 1с, что хорошо согласуется с астрофизическими данными.

Динамика модели пульсара обладает важными математическими свойствами: динамическая система (2.12) является специальным случаем уравнений Эйлера в сопряженном пространстве L* к алгебре Ли группы G3 X XSO(3), где G3 — группа движений трехмерного евклидова пространства. Эта-система на инвариантных многообразиях уровня интехралов J2 = к2, J3 = к3, Jr4 = Zc4 га-мильтонова с гамильтонианом Ji; в § 3 указаны некоторые интегрируемые случаи.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed