Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Q = QA0, Qa = -B0aQa (5.4)
и воспользуемся изоморфизмом векторов с компонентами Vі в R3 и кососимметрических (3X3) матриц с компонентами Vjk:
8
V1-^Vjk = — S VtZijk, (5.5)
i«=l
при котором векторное произведение векторов хХу переходит в коммутатор матриц [X, У] = XY — YX. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам A0 и B0a отвечают векторы с компонентами А\ Ba, і = 1, 2, 3.
279 Момент количеств движения жидкости в «-полости (относительно центра масс О) имеет вид (всюду интеграл берется по объему полости)
Mia = Pa J (х X у)* dx1 dx2 dx3 =
з
= 2(--2 ^ihMaih + QUajk'4?
i,ft=l \
Ma = Ji-1 (FaFta - FaFta) =
= M«X<? + ЛD2a - 2DaBoaDa) Qt, (5.6)
Iajk = та (Чй 2 ('«)2 — j, (і"1 - та/5.
Из формул (5.6) после перехода к векторным обозначениям ів силу (5.5) получаем, что вектор m полного момента количества движения рассматриваемого объекта в системе отсчета S имеет вид
M = Z-A+ 2 Ila1 (CaА - IdaDa1Ba),
а=1 К0-')
hk = Ioik + Ilik + . . . + Inikt Ca = Tr (Dra) E — Da,
где IOih — тензор инерции твердого тела в системе S.
Закон сохранения полного момента количеств движения в системе отсчета S имеет вид
M=MXA. (5.8)
Для движений жидкости с однородной деформацией (5.3) уравнение неразрывности divv = 0 (5.2) выполнено тождественно; уравнение динамики р dvjdt = —grad р (5.2) эквивалентно закону Гельмгольца о вмараженвости вихря <a = rot V, т. е. d&jdt = 0 вдоль траекторий жидкости. Вектор вихря в а-нолостп юа отвечает в силу изоморфизма (5.5) матрице
Ко* = PaFa — FtaFa = QtaKlaQai Kla = DaBoa + BoaDa — 2 DaA0Da. Закон Гельмгольца (Jtoe = 0) имеет вид
?la = [Kla, B0a]. (5,10)
Отсюда после изоморфизма (5.5) Kia Ka и домножения на Ца1 получаем:
K06=KaXBa, Ka = Iia1 (CaBa - IdaDa1A). (5.11)
280 Уравнения (5.8), (5.Iii) полностью описывают динамику твердого тела с ге эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Эти уравнения после преобразования Лежащдра A, Ba -»- М, Ka (которое очевидно является симметрическим) переходят в систему уравнений
M = MXA, Ka = KaXBa,
Ai = QEldMi, Bia = OHldKiat К '
где гамильтониан H является полной кинетической энергией вращения твердого тела и жидкости в каждой из полостей и имеет вид
2H = (М, А) + 2 (Ka, Ba) = (G-1N, N) + 2 Цсс(Ка, Ca 1Ka),
а=1 а=1
N = M + 2 ZdaCa1DalKat (5.13)
а=1
G = I + 2 ua1Ca1 (Cl-AdlD-2).
а=1
Уравнения (5.12) определены в пространстве Bzn+z и являются специальным случаем уравнений Эйлера в сопряженном пространстве Ln+1 к алгебре Ли группы Gn+1 = = SO (3) X ... X SO (3) (re +, 1 сомножитель). Гамильтониан H содержит би + 6 независимых параметров (компоненты симметрических матриц I, Di, ..., Dn); отметим, что параметры |xa (или плотности ра) несущественны и устраняются путем замены Da = [ia1/2Da. В квадратичную форму H (5.13) входят скалярные произведения между всеми парами Ka, Kp и Ka, М, т. е. в указанном естественном базисе форма H существенно диагональна.
Уравнения (5.12) имеют кроме гамильтониана H еще п + 1 геометрический интеграл
/о = (М, М), Za=-(KajKa), CC = I, ..., ге, (5.14)
где Jo — квадрат полного момента количеств движения. Поверхности уровня интегралов (5.14) являются орбитами О ««присоединенного представления группы Ли Gn+1 в Ln+1. Многообразия О = S2X.. .X S2 (п + 1 сомножитель) имеют стандартную еимплектическую структуру, в которой уравнения (5.12) гамильтоновы с гамильтонианом H (5.13).
281 III. Уравнения Эйлера на алгебре Ли SO (4) = — SO(3)®SO(3) получаются из уравнений (5.12) в двух случаях. Первый случай, классический, соответствует п = = 1 и содержит 12 свободных параметров (компоненты Ith, Dik). Второй случай соответствует п = 2 и /о = О (M = = 0); при этом уравнения (5.12) принимают вид
К = K1 X Bi, K2 = K2 X B2. (5.15)
Уравнения (5.15) (с гамильтонианом (5.13) при M = O) содержат 18 свободных параметров (компоненты Iih, Diift, Diih) и, очевидно, являются уравнениями Эйлера на SO(4). В случае диагональных матриц I, D\, D2, таким образом, получается девятимерная область однородных гамильтониаиав вида (1.6) (rt = qt — 0).
Исследуем возможность указанной физической интерпретации интегрируемых случаев (2.3) и (2.9) ._Алгебры Ли классу А при х = 1 после преобразования Xi = (? + + Yi)/2, Yi = (Xi—Yi)/2 переходят в алгебры Ли класса В с Ri = ти Таким образом получаем разложение алгебры Ли SO(4) = SO(3)® SO(3) (Пі = 1, к = 1); при этом уравнения Эйлера (1.3) переходят в уравнения вида (1.4)-(5.15), где K11 = Mi + К\ К\ = Mi- Ki. Гамильтонианы H (1.6) при Ci = Ti = qi = 0, рассматривавшиеся в § 2, после указанного преобразования принимают вид
2Я = І (о, {{К\У + (4)2) + 2рК\К\), І—1
4оі = Cti + Ъ{, 4?i = at — bi. (5.16)
Интегрируемые случаи (2.3) и (2.9) в новых координатах определяются соответственно условиями
?i = — 2а і + а.2 + аз, ?2 = аі — 2а2 + «3,
?3 = — аі — а2 + 2аз, (5.17) ?.— Sa,— «і — а2 — аз. (5.18)
Соответствующие уравнения Эйлера (5.15) интегрируемы по Лиувиллю на уровне первых интегралов (К\, K1) = = (К2,К2) (т. е. Z3 = (М, К) = 0).
