Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
и поэтому вполне интегрируемы по Лиувиллю (существование интеррала (2.13) проверяется прямым вычислением) .
266 Для алгебры Ли SO(4) (щ = и = 1) условие (2.12)' приводит к интегрируемому случаю С. В. Манакова [52]. Два семейства уравнений Эйлера, определенные условиями (2.3) и (2.9), не принадлежат пятимерному множеству (2.12) и пересекаются с ним по двумерным подмно-жества/м (осе симметричные метрики). Поэтому из результатов работы [144] следует, что уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.3) и (2.9) не являются алгебраически интегрируемыми во всем пространстве L*. Однако, как показано в следующем параграфе, на уровне Z3 = О алгебраическая интегрируемость все же имеет место.
§ 3. Явное интегрирование некоторых уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO (4)
I. В данном параграфе уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.3), (2.9), рассматриваемые на инвариантных двумерных торах, определенных постоянными значениями интегралов Zі, Z2, h = 0, /4, интегрируются явно в эллиптических функциях времени. Конструкция координат si, s2 навеяна классической работой С. А. Чаплыгина [108], посвященной уравнениям Кирхгофа.
При условиях (2.3) интеграл /4 (2.5) принимает только неотрицательные значения /4 = h2 и при nt = к = 1 (S0(\)) имеет вид
J4 = ((оя - O1) M21 + (о2 - а3) Mt + (Ьг - Ъ3) Kfj2 +
+ 4 (а3 — Ci1) (о3 — а2) M21M22. (3.1) Координаты s1 и s2 при h > О определим формулами Si=(u + h)/v, s2='(u — h)/v,
(3.2)
и = {а3 — O1) М\ + (а3 — а2) M22, v = (Z)1 — b3) K3, s = а3М\-
Отсюда получаем:
V = 2ft/(si - s2), M = (S1-J- S2)ZjZ(Sr-S2). (3.3)
Укажем явное выражение координат Мц Kj через координаты si, s2 и константы Jk- В силу (3.1) имеем:
и2 + 2 ((о8— O1) M21 — (о3 - о2) М\) V + и2 = h2.
Отсюда и из (3.2) находим:
2 (O8-O1) M21 = (й2- (и -v)2)/2v, 2 (о3 — а2) M22 = ((и + V)* — h2)/2v.
267 Подставляя в (3.4) и (3.2) формулы (3.3), получаем выражения для координат Mi, M2, Къ через si, s2, h:
Vb-^Mt-I-lV-VW"
(2 р.,-„,))"¦ Л/,-ГС' +'"'¦ + '> У". (3-5)
1 2
(h-b2f2 K3 = -2(h!(Sl- s2)f'2.
Перейдем к нахождению выражений координат К\, K2, Mз через значения интегралов Ji и si, S2. Подставляя выражения (3.2) для Мз, Кг через v и s и выражения (3.4) в интегралы Ji, J2 (1.5), получаем:
(^1 — Ъ2) K21 = — и — V + J1 — b2J2 +
faI ~а2\ (u + v)2-h2 2 (ag ах)
+
2v
(b± -ь2) K22 = и-V-Ji + b,J2 +, (3.6)
+ (аі-аг) h2-(u-v)2 + 2 («,-«„)_
Таким образом, остается найти выражение для s через Si, S2, Jh- Отметим, что из интеграла Js = O (1.5) следует:
M13Ki - 2 (M21K21 + MtK22) M23K23 + (M21K2 - MlKlY = 0.
(3.7)
Подставляя в (3.7) полученные выше выражения, находим, что переменная s удовлетворяет уравнению
^S*-2^Ps + ^ = 0, (3.8)
аз з
чр = (h2 -U2- V2) (X, - X2 - Ti2 (я, - Os)) +
+ 2uv (Zi + Z2- Ь2 (2о3 - си - O2)), ^Q=(h2 -и2- V2) (Yi + У2) + 2uv (Yi - Y2)', Zi —'(а3 - о2) (u + ь>) (7i - b2J2), Z2 = (оз - Oi) (и - v) (Ji - biJ2), Yі = (оз — o2) (—и — v + Ji- b2J2), Y2 = (as — Oi) (и — и — Ji + hJ2)
Y = 2(а3-oi) (аз - o2). (3.9)
ще
268 Йз уравнения (3.8) находим:
4h2vs/a3 = P ± (P2 - K2Q2)(3.10) Отсюда получаем (s]a3 = Mf):
2Н(2v)u2M3 = (Р + HQ)1/2 ±(Р — HQ)U2. (3.11) Используя формулы (3.9), находим: т (Р _ hQ) = ( (h - „) 2 _ (аіУ _ ?l!(u + A)- J1 Ч(Р + HQ) = ((h + и)2 - V2) (u2v - ?2(w — А)), {0Л*>
где
а і = тпі (7i + A)— 7^2/2, a2 = m\ (J\ — A)— 7712/2, ?i =(ві - a2)i(/i + A)- 772-3/2, ?2 =(®i - «2) (/1 - HJtn3J2,
(3.13)
7771 = 2?3 — a\ — 7722 =(fl3 — «2)62 + («3 — Otl) bl,
тп3 =(a3 — a2)b2 —(аз — аі)Ь\.
После подстановки (3.12) в формулу (3.11) и использования соотношений (3.2) получаем:
M3 = (((s2-l)(a2-?2s2))1/2 +
+ (? - 1) К - ?A))1/2)/(*i - ^2) (2т)1/2. (3.14)
Отсюда получаем выражение для величины s.
После подстановки в формулы (3.6) обозначений (3.13) для Он, ?i находим:
(Ь Ъ)К2 (?lSl-0Cl)(S2 + 1)-(?2^-CT2)(^ + 1) 4aS-ai)c
2,1 2(a3-a2)(Sl~S2) "З
(3.15)
- W *«--^ (аз ai) (si -+
Подставляя в (3.15) величину s/a3 = M\, в силу (3.14) находим:
(Ь, - b2)1/2K{ =(2(a3 - as))-1'2(S1 - s2)~l(((i + si)X X(1 - s2) (as - 02?)')1/8 -((1 - si) (1 + s2) (a, - ?is,) )1'2),
(3.16)
(6, - b2) "2K2 = (2(os - ®i))~1/2(si - яг)"1 (((1 + Si)X X (S2 - 1) (a, - ?,s,))1/2 +((s, - 1) (1 + s2) («я - ?2s2))1/2).
Таким образом, формулы (3.5), (3.14) и (3.16) дают выражение всех координат Mi, K1 через координаты Si, S2 и постоянные Ji, J2, Ji = H2 (на уровне /3 = 0). ,Отметим, что в этих формулах допускается одновременное изменение знака у каждой пары координат Mi, Ki.
Перейдем к преобразованию уравнений Эйлера (1.3) в координаты S1, s2. Продифференцировав выражения Si, S2 (3.2) в силу системы (1.3), получим: ii/2 = («з - ах) (s, + ^M1K2ZK3 + (а3 - а2) (1 - S^M2K1IK3,
(3.17)
Ш = (а3 - а\) (s2 + 1)M1K2ZK3 + (а3 - а2) (1 -s2)M2K1ZK3.
После подстановки в уравнения (3.17) выражений (3.5), (3.16) для координат Mi, Ki получаем два замкнутых уравнения
Si = -((1 - S21) (CC1 - P1S1))172, s2 = -((l-sl)(aa-?2s2))l/2.
