Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
A. = XM, В = <ш, w = aK+?u. (4.13)
Соотношения (4.13) после подстановки формул (2.11) принимают вид
Ui = 'CtXziMi, Ki=(Kgi-^)XziMi, 2,- = 4,-((«2 — y.^ + ?)"1, з
IT1Mi = S JihMh, Jih = Iih - Yia2ZiSift. <4.14)
h—X
Отыскание особых точек сводится, таким образом, к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы Jth. Твердотельное вращение (a = 0) и чисто внутреннее вращение жидкости (Я = 0) реализуются только для вырожденного множества особых точек, лежащих на двухпараметрическом множестве многообразий Жь. В общем случае (4.13)-(4.14) матрицы (^1(Z) и Q2(t) описывают периодические вращения с периодами Tі и T2. Если периоды Ti и T2 соизмеримы, то решение является строго периодическим.
304 ДОПОЛНЕНИЕ
СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА, ДОПУСКАЮЩИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Система гидродинамического типа, связанная с моделью Вольтерра
I. Пусть L— симметрическая матрица, имеющая вид матрицы Якоби:
(1.1)
0 aI 0 . . 0 0 ;
aI 0 а2 • . 0 0
0 а2 0 . . 0 0
0 0 0 0 ап-1
0 I 0 0 . • ап~ 1 0
Матрица А является кососимметрической и имеет следующие ненулевые элементы
АІ,І+2 = ХІ, АІ+2,І = — Xi, і = 1, ..., п — 2. (1.2)
Рассмотрим для указанных матриц LhA операторное уравнение
U = ЬЬуЬ+ [L, А]. (1.3) Это уравнение эквивалентно системе уравнений
аі(аі+і)уа{+2 = ai+2Xi — atxi+i, і = 1, ..., п — 3, (1.4)
\
iai)t = у яі [(aLi)v + (aV)v + («І+і)„) + аі-л-і + *і+і*і- (1-5)
Для разрешения уравнений (1.4) относительно неизвестных Xi сделаем подстановку
Xi = аіДі+ійі- (1.6)
В силу (1.4) получаем
(«і+іУ5+і=Ьі- bi+r (1-7)
Решенн« этой системы имеет вид
bi = -I1 (aK)vaH1- W, (1.8)
fe=l
где ? — произвольная функция от t, у. 20 О. И. Богоявленский
305 Система (1.5) после подстановки формул (1.6), (1.8) принимает вид
/ /і=г+1 ft=i-2
N4=Yei (e?)»+2eH-I 2 (??1-? 2 ыа"1+
й=1 ft=1
+ ?(«?+!-«?-!))¦ (I"9)
Таким образом, система (1.9) допускает операторное представление (1.3), и поэтому, согласно основной лемме § 2 главы II, собственные числа fh(t, у) матрицы L (1.1) удовлетворяют уравнениям
hi =Jkfky (1-Ю)
Система (1.9) при ? = 0 входит в класс систем гидродинамического типа [92, 174, 175]. Собственные числа іД(і, у) в силу уравнений (1.10) являются инвариантами Римана. Число этих независимых инвариантов равно [nj2], так как собственные числа матриц Якоби (1.1) симметричны относительно нуля. В силу уравнений (1.10) собственные числа fh(t, у) опрокидываются. Поэтому так же ведут себя и общие решения системы (1.9) (и системы (3.9), (3.13); см. § 3).
Система (1.9) при отсутствии зависимости от у переходит в классическую систему Вольтерра.
II. После подстановки а, = ехр (и,/2) система (1.9) переходит в систему уравнений
»« = е\у + ^ + 1 IT "Пу - "if % + P <УЧ+1 - ^1). fc=ll /?=1
(1.11)
которая имеет следующий вид:
j=i з
H = Y Tr L2 = + е"» + ... + в""-1. (1.13)
Операторы Aii являются кососимметрическими и имеют вид
Tl—1
лУ=giji+2 bkuky+vij- [(1^)
У h=i
Здесь коэффициенты Uii симметричны, Iis и I-I1h3 кососимметричны и постоянпы и не равны нулю только в следующих случаях
yii _ М+1 .
> б
ji,i+1 __ji+l,i _ Ij
цЛ+г = _= 1 при
306
(1.15) Операторы Aii (1.14) имеют вид операторов, определяющих скобки Пуассона гидродинамического типа [92]. Справедливо тождество
д{еЧ)/дик = Ъ% + Ъ». (1.16)
B силу которого СИМВОЛЫ Кристоффеля Tjk,
T3V=-rf (!-!7)
определяют постоянную связность, согласованную с метрикой g'>.
В силу тождества (1.16) скалярное произведение двух функций F(и) и G(u):
OO
<F,G>= Г МАЦЫ (1.18)
J бUi би-
з
— оо
является кооосимметрнческим.
Коэффициенты g13, bk3 можно представить в виде
gij = yij + y3\ ъЦ = ду^1дик. (1.19)
Здесь коэффициенты Yij являются ненулевыми только в следую-1 . . 1 -1 щих случаях: -у" = -j, == у + Si, yl+1>1 = у — Si, Si =
h=i
— 2 uIi- Координаты U1 ..., un-i ввиду (1.19), согласно терми-ft= і
нологии работы [92], называются лиц вилле в ими.
Отметим, что постоянная связность (1.17) в силу формул (1.15) не является симметрической И ее тензор кручения Tjfe и тензор кривизны H1JflI ые Равны нулю. Поэтому, согласно теореме 1 работы [92], оператор (1.14) не удовлетворяет тождеству Яко-би для скобок Пуассона.
§ 2. Интегрируемое 2 + 1-мерное уравнение как континуальный предел систем гидродинамического типа
I. Система (1.9) после замены U1 = а? принимает вид
(ft=і
Uiy + «1+1.» + ui+l 2 uKyuI1 -fc=l
- ui * ІҐ uUVuT1 + ? Ci+1 - ui-i)\ (2-1) h^l /
Предположим, что выполнены равенства
Uj = I- e2i>({, xs, у), Xi = /є, ? = ЗРоЄ-1, (2.2)
где v(t, x, у) —некоторая дифференцируемая функция от трех переменных. Уравнение (2.1) после подстановки (2.2) принимает вид
20* 307 vU = (1 - Є2"г) I2vXy + »i_i,„ + vi+l,y ¦
ft=i
B2 („i+1 - V^1) 2 Vhy + ? (Vi+1 - ^1) + о (e3)l (2.3) ft=1 /
где Vi = y(i, я,-, !/). Уравнение (2.3) после применения разложения Тейлора для функций v и Vv и использования формулы
