Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
d1 = d2, Ti = (0,0, г3), Iih = Iiб?, I1 = I2
уравнения (2.12) имеют дополнительный первый интеграл Js = M + K3 и инвариантны относительно группы одновременных поворотов в плоскостях (М1,М2), (К\К2) и (и1, и2). Поэтому система (2.12) на совместном уровне первых интегралов (3.3) и Zs и после факторизации по указанной группе сводится к гамильтоновой системе на четырехмерном многообразии, которая, вообще говоря, не-иптегрируема.
II. Рассмотрим важный случай нулевого полного момента количества движения системы Z2 = 0. Предположим, что центр масс находится в центре эллипсоида (r' = 0) и тешзор инерции твердого тела диагопален: I1ik = Ifi1i,
298Тогда в силу (2.3) Лг = угВг (gi + Jn11Ii) 1 и система (2.12) принимает вид
K = KXB + uXw, u = uX В, 4
Bi = дН/дК\ Wi = дЙ/ди1,
2Я = S (/ГЧ^)2+ *ft И2), h = ft - Y2 (ft + W)"1.
i=l
Уравнения (3.4) аналогичны классическим уравнениям Кирхгофа движения твердого тела, имеющего три плоскости симметрии, в идеальной несжимаемой жидкости. Из теории уравнений Кирхгофа известно, что система (3.4) при выполнении условия Клебша [111]
/i (ft! — ft) + H (g3 — g і)+/з (gi — ft) = 0 (3.5)
имеет дополнительней первый интеграл
/ = (К1)2 + (К2)2 + (К3)2 + Kfa(ft -gz)(u1)2 +
+ и/, (ft -gz) (и2)2 (3.6)
и поэтому полностью интегрируется.
Покажем, что при любых значениях полуосей эллипсоидальной полости di, d,2, d3 существует двухпараметри-ческое семейство значений тензора инерции твердого тела Ii, для которых соотношение (3.5) выполнено, т. е. динамика системы интегрируема на уровне Л = 0. Пусть d3 > di > (?; введем следующие обозначения:
Pi = 1 + Ui11IigT1 ¦> 1, X1 = didJT1, X2 = djfis1, X2CX1^i,
(3.7)
OC1 = Ix2 (l + X21)'1, Ci2 = Ix1 (l + X22)-1, Ot3 =
= 2a?i?a (^c1 + х^)
Из формул (3.4) получаем fi = gi( 1 —«іРГ1)- Уравнение (3.5) после подстановки (3.7) и несложного преобразования принимает вид
М'ї+о р, («;+«» ( J
Из уравнения (3.8) при 0 < х2 < х\ < 1 и ,двух произвольных параметрах р2, Рз>0 находим Pi >0. Решения уравнения (3.8) допускают преобразование Pi ->- поэтому
299при достаточно большом X получаем двухнараметрическое семейство решений с ?i=A,?j>l. После этого из (3.7) находим соответствующие компоненты тензора инерции твердого тела Ii. В частности, уравнение (3.8) имеет решения, ДЛЯ которых Xi « Ж2«'1 и ?l « ?2 A Рз; B ЭТОМ случае при больших X выполнены также и необходимые условия Ii < Ij + Ih.
Известный интегрируемый случай С. Л. Чаплыгина [108] для уравнений Кирхгофа также приводит к интегрируемому случаю рассматриваемой системы. Уравнения (3.4) при условиях
/! =/2 = 2/3, g3 = (gi + g2)l2, Ji = O (3.9) имеют дополнительный первый интеграл
Jb = {((КГ - (Я1)2) /г1 + * (dt - dl) (U3)2Y +
+ 4 is2(Kif(K*Y
и поэтому полностью интегрируются. После подстановки выражений (3.4), (3.7) легко убедиться, что уравнения (3.9) имеют трехпараметрическое семейство решений di, Ih, удовлетворяющее всем необходимым условиям.
§ 4. Периодические решения
I. Матрицы Qi (t), Qi(t) для периодических вращений модели пульсара являются периодическими функциями времени с одинаковым периодом. Таким решениям соответствуют замкнутые траектории системы (2.12); обратно, если замкнутые траектории системы (2.12) образуют трехмерное множество, то некоторое его всюду плотное подмножество соответствует периодическим вращениям Q\ (t), что и приводит к периодическому изменению внешнего элентроматиштного ноля пульсара.
Покажем, что при выполнении условий Iih — (gi + Ii) Sih и '=O на открытом множестве поверхностей уровня интегралов Jx = ki, J2 = Ar2, /з = &з существует 12 замкнутых траекторий системы (2.>12).
Интеграл Jy=H (3.2) при Iih =(gi + Ii)Sih имеет вид
2/1 = 2 (а,М\ + 2CiMiKi + Ъ,К\ + XgiIif),
і—1
(4Л)
Яг = gzSi, Ci = YiSi, bi = (gi + Ii) Si, Si = ((gi + Ii) gi — Yi)-1. 300Система (2.12) іпа уровне J4 = 0 имеет три инвариант пых подмногообразия ^ t- uk = Mi = Mj = K1 = Kj = 0 (г, у, А; = 1,2,3). На многообразии уравнения (2.12) и интегралы (3.2) — (3.3) принимают вид
— n(g2— gl)UlU2, Щ =U2B3, U2 = -UiB3, M3 = O,
2 J1 = а.,Mt + 2 CsMsKs + b,Kt + Kg1U21 + Kg2U22, (4.2)
J2 = M23, J3 = U21 + U22, B2 = c.M3 + b3K3.
Поверхность уровня интеграла J2 = к2 состоит из двух компонент M3 = гк\/2, є = ± 1. На каждой компоненте многообразие уровня интегралов Ji = к\, J3 = к3 является пересечением эллипсоида (Ji = /сі) и цилиндра (J3 = к3), имеющих общую ось K3, и либо состоит из двух замкнутых траекторий системы (4.2), либо пусто (число этих замкнутых траекторий одинаково для обеих компонент M3 — гк22). Всего на трех инвариантных подмногообразиях Vfl в зависимости от соотношения Ju J2, J3 получаем 12, 8, 4 или 0 замкнутых траекторий, причем при IJ1 > J2 max (?i — с2/bi) + кJ3 max (g.t) имеется ровно 12 замкнутых траекторий.
Указанные замкнутые траектории описывают вращение пульсара вокруг неподвижной оси. Максимальное число таких траекторий (4 для каждоГ/ из трех осей) соответствует двум возможным ,направлениям полного момента импульса пульсара и двум возможным направлениям вращения жидкого ядра относительно оболочки.