Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
(3.18)
В силу уравнений (3.18) Si(I) являются эллиптическими функциями времени t. Подставляя Si(I) в формулы (3.5), (3.14), (3.16), получаем явное выражение динамики уравнений Эйлера (1.3) через эллиптические функции. Вырожденный случай /4 = 0 интегрируется в элементарных функциях.
IL Проведем интегрирование уравнений Эйлера (1.3) при условиях (2.9): = (а, + ak)Z2. Интеграл /4 имеет вид:
Ji = Kt = ((а3 - а2) K21 + (а, - а3) K22 + (я, - а2) K23)2 +
+ 4 (а3- U1) (а3 - а2) K21Kt2. (3.19)
Введем координаты Si, S2:
S1 = (и + /1)/1;, S2 = (и — h)jv,
и = (а3 — яа) kI + (аз — ai) V = (Ci1- а2) K23. ^
Так же как и в п. I, найдем выражение координат Mi, K1- через координаты sj, S2 и константы Jh. Используя (3.19), получаем:
2(a3-a2)K\ = (h2-(u-vf)l2v,
2(a3-a1)Kl = ((u + v)2-h*)/2v.
Подставляя сюда выражения и, v через S1, S2 (3.3), находим:
(2 (а3 - а2)) lf2K1 1 - s2) (S1 - 1) (S1 - S2)-1)1/2,
(3.22)
(2i(a3 - ах)) mK3 = (А(*, + 1) (s2 + 1) («і - S2)"1) (а, - а2)тКг = -(2h(S1 - S2)"1)1/2.
270 Обозначим s = а3М\, из формул (1.5) после подстановки (3.20)-(3.21) получаем:
(Ci1 — а2) M1 = J1 — (I2J2 — ^Цг^—
(ai~a2) l^ + vf-h2 2 (в,-ej I 2v
(Ci1 — а2)МІ = — J1 + %/jj + —
h2-(u — vf '
¦s,
(3.23)
2 («„-в,) V 2, J
Подставив полученные выражения координат Mi, K3 в уравнение (3.7) (/з = 0), получаем уравнение для определения s:
+ ^ = (3.24)
aS 3
где
^1P1 =(А2 _ и2 _ ^2) + ^2 + A2(ai _ 02)/2) +
+ 2uv(xx — х% — h2(2a$ — ах — аг)/2), f iQi=(h2 - и2 - V2) (г/і + у2) + 2ии(ух - у2), х\ =(аъ — ах) (и + v) (Jx — Ci2J2), Xs=(CLz-Cl2) (и — v) (ах/2 — /х),
г/і = (аъ-ах) (Jx - Ci2J2 — (и + v)/2), г/2 = (а3 -а2) (axJ2 - /1 + (и - v)/2), Tfi = («з-«і) (а3-аг). (3.25)
Из уравнения (3.24) получаем:
Avh2Sfa3 = P1 + (P21 - Ii2QlYi2,
и, после подстановки Mt = s/a3, находим:
2(2v)U2hM3 =(Л + HQ1)1'2 ± (Px - hQx)1/2. (3.26)
Из формул (3.25) следует
P1 - HQ1 = ((и - hf - V2) (W01 - (и + Щ ?«)/Yl, 3 2?) P1 + HQ1 = ((и + hf + V2) (va°2 -(u-h) ?°2)/Yl,
где
aI = (Л + Ш) Щ + J2Ti2, Ci02 = (J1- h/2) H1 + J2п2,
Pi = ІЧ - «а) (V» - Jt—h?), ?a = (ві—a,)(/,0,-Z1+ Л/2),
(3.28)
Ti1 = 2o3 — a1 — a2, n2 = 2 axa2 — a3 (at + a2).
271 Используя формулы (3.3), преобразуем (3.26) к виду
-((W-I) («5-PS»,))17" +
+ ( W-1)(«Ї-Р°А))1/2)/(^І - s2) (2?і)1/а- (3.29)
После подстановки соответствующего выражения для s = = а3МІ в (3.23) получаем:
(а, - а2)1/2 M1 = (2 (а3 - O1))"1'2 (? - S2)"1 (((1 + S1) X
X (1 - *2) («« - ?«»,))* _ ((і _ Зі) (1 + S2) (а» - P01S1))172)-
(3.30)
(а, - o2)l/2 JVf2 = (2 (а, - а2))~1/2 (S1 - S2)"1 (((1 + S1) X
X (s2 - 1) (а° - P01S1))172 + (К - 1) (s2 + 1) (а°2 - Р°2*2))1/2).
Формулы (3.22), (3.29) и (3.30) дают выражение всех координат Mt, Kj через координаты si, S2 и константы Jh; знаки каждой пары координат Mt, Ki можно одновременно изменить на противоположные.
Дифференцируя координаты Si, S2 (3.20), в силу уравнений Эйлера (1.3) получаем:
si = (а8 - о,) (1 - S1IM1K2IK3 + (а3 - о2) (S1 + 1IM2K1ZK3, s2 = (о3 - di) (1 - s2)M1K2ZK3 + (аз - а2) (s2 + 1)M2Z1AK3.
Подставляя в эти уравнения выражения Mi, К} через S1, S2, получаем динамическую систему с разделенными переменными
^=-((і-^)(аї-Р?0/2)172, (3 31)
s2 = -((l-4)(a»-p»s2)/2)1/2.
Таким образом, уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.9) также интегрируются явно в эллиптических функциях времени (см. [155]).
§ 4. Интегралы J4 второй степени
В данном параграфе изучаются уравнения Эйлера (1.3), (1.4) с общими гамильтонианами (1.6). Выведем условия на коэффициенты Oi, Ьі, Ci, г{, q{, при которых из уравнений Эйлера следуют два уравнения (см. (1.7)):
Z+ = W+Z+, Z- = W-Z-,
Ze = OL1M1 + Sa2M2 + P1Z1 + є ?2Z2 + Ti3Yi + є/г3у г, (4.1) Ws = ZxM3 + EyK3, 8 = ±1.
272 1 В этом случае многочлен второй степени Ji = z+z- является интегралом уравнений (1.3) или (1.4). Специальный случай уравнений (4.1) получается, если z = z+ — комп-лекснозяачная функция, w+ — чисто мнимая функция; тогда Z- = z+, w~ — w+ и интеграл* Ji = zz.
I. Для алгебр Ли класса А (1.1) уравнения (4.1) после подстановки Zs в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений Mi, Ki приводят к системе алгебраических связей на коэффициенты:
CCi (П2«з — Tis(I2) + x?i (п2сз — Пзс2) = ха2, «і (пфз — ПзЪ2) + ?i [п2сз — п3с2) = z/?2, «і {п2сз — пзс2) + $іі{хп2Ьз — пза2) = z/cc2, «і {п2сз — пзс2) + ?i (—кпзЪ2 •+ п2аз) = a:?2, cta(n3ai — щ аз) + (я3сі — nic3) = хаь (4.2)] O2^mbi — "1?)+ Рг(гезСі — Wic3) = z/?i, а2(л3сі — иіс3)+ ?2<(—'кщЪз + пъа\) = уа\, Oc2 (га3С1 — WiC3) + ?2 (%пзЪ\ — п\аъ) = z?i, a,iq2 + K$vr2 == -xl2, air2 + ?i-g2 = —УЧг, a2qi + >c?2ri = Xlu а2гі + ?2gri = ylh r3 = q3 = 0.
Укажем явное разрешение системы (4.2) относительно коэффициентов а{, b{, Ci, r;, qu Исключим из первых четырех пар уравнений (4.2) (эти восемь уравнений образуют замкнутую подсистему) неизвестные вида UiCj — TijCi; получим четыре замкнутых уравнения относительно трех неизвестных Oi, о2, о3, Oi = Ui- кЬ{. Разрешая эти уравнения, получаем одну связь на коэффициенты Cti, ?i:
