Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим твердое тело с двумя эллипсоидальными полостями, оси симметрии которых параллельны главным осям тензора инерции Iih, т. е. в системе отсчета S, связанной с осями тензора Iih, три матрицы I, Di, D2 диа-гональны. Допустим, что плотности жидкостей pi, р2 и
282 полуоси эллипсоидальных полостей удовлетворяют условию подобия
dwM»~(P2/pi)1/B; (5.19)
тогда = И-2"1/2<^2і = ch- Соответствующий гамиль-
тониан H (5.13) имеет вид (5.16), где
?, = Adfdt (df + dl)'2 (и + 2 (df - dl)2 (df + dl)-1)-^ 0,
(5.20)
Oi = ?i + (df + dl)~\ i, j, к = 1, 2, 3.
Интегрируемый случай (2.9) — (5.18) не удовлетворяет физическим условиям (5.20), так как из (5.18) следует ?i + + Рз = 0, а согласно (5.20) имеем > 0.
Условия существования интегрируемого случая (2.3) — (5.17) после подстановки (5.20) принимают следующий вид:
d\ + d\ = 2 dl R2I2 = I1 {d2 + d2,)-1 (16d\d% (dl + dt) +
+6(^- (d2 - dl)) + (dl - dl) 12 +
V (dIjTdI)(dIjTdI) /
, 32 4 (KdI-dI (dl+
dIjTdI } (5.21) Vs = h (dl + ^)"1 (Sdtd22 (dt + dt) +
+ 6 (4-d2)2 (d23-dl)) + , ,<-dt(,M-dtY(dl-^(dt-dX) , dl+dl{ dl + dl +
+ 8dl(dld22 + dt(3dl-Mt))^,
= 16 № + ^ + dI - df) + 3/i № - df) +
Условия (5.21) определяют связь параметров du d2, d$ и выражают компоненты тензора инерции I2, Із через Ii, di, d2, d3. При di « d2 из (5.21) следует di « d2 « d3,
283 I1 ftt I2 « 27з, поэтому оеобходимое физическое условие Ii + Ij > Ih выполнено.
Таким образом, интегрируемый случай (2.3) — (5.17) описывает вращение твердого тела с двумя эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной !несжимаемой жидкостью при условиях (5.19)-(5.21) и иа уровне первых интегралов (М, M) = 0, (Ki, Ki) = (K2, K2). При этом, как показано в § 3, уравнения Эйлера (1.3) — (5.15) интегрируются явно в эллиптических функциях времени.
Замечание. В § 5 гл. VII указана конструкция интегрируемых уравнений Эйлера в прямой сумме любого числа алгебр Ли gl (га, R) и so (га, IR). При га = 3 эти интегрируемые случаи (в прямой сумме к + 1 алгебр Ли SO (3, IR)) могут быть применены для описания динамики твердого тела с к полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью.
§ 6. Лагранжева структура уравнений Кирхгофа
I. В § 5 гл. X указана связь некоторой лагранжевой интегрируемой системы на группе Ли SO (3), обладающей однолараметрической группой симметрий, и интегрируемого случая Клебша для уравнений Кирхгофа. В данном параграфе мы установим связь уравнений Кирхгофа (и некоторых более общих уравнений Эйлера) с лапран-жевыми уравнениями на группе Ли SO (3) (соответственно S<5(п)).
В работах [116, 117] показано, что уравнения Кирхгофа
M = M X (О + P X и. P = PXW1 0)i = 5?, и = ^i,
(6.1)
3
H1 =42 (агМ\ + 2djMiPj + bijPiPj)
І, J=I
совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре Ли E3 и являются гамильтоновыми с гамильтонианом J1= H на орбитах Jff4 = Т* (S2), определяемых постоянными значениями первых интегралов /2 = (М, р), J3 = (р, р). В работах [116, 117] доказано, что уравнения Кирхгофа на многообразиях Jti «сводятся к системе, математически эквивалентной классической заряженной частице, движу-
284 щєйся DO сфере S2 С римановой метрикой gau(x) !В потенциальном поле U(x), а также в эффективном магнитном поле #12(я)», Т. е. сводятся к лагранжевым системам на сфере S2, зависящим от параметров Z2 = C2, Jb=2C3. Этот результат справедлив также [117, 89] для гамильтонианов общего вида з
Н = 2 (т аіМї + ірі + diMi) + V (6,2)
В данном параграфе показано, что уравнения Кирхгофа (6.1), (6.2) во всем фазовом пространстве R6 с координатами Mi, Pj являются редукцией некоторой лагран-жевой системы на группе Ли SO (3), обладающей одно-параметрической группой симметрий, причем лагранжиан системы (6.1), (6.2) на инвариантном подмногообразии JH = т* (52) получается из лагранжиана на группе Ли SO (3) понижением порядка по Раусу. Лагранжева система на группе Ли SO (3), отвечающая гамильтониану общего вида (6.2), имеет следующий физический смысл: эта система описывает вращение электрически заряженного твердого тела — гиростата в осесиметричном силовом поле и в постоянном магнитном поле, направленном параллельно оси симметрии. Поэтому любой интегрируемый случай уравнений Кирхгофа определяет некоторый интегрируемый случай динамики ,твердого тела в указанных выше полях. Основная теорема 4 доказана для уравнений Эйлера (на специальных алгебрах Ли), обобщающих уравнения Кирхгофа в «-мерном случае.
II. Пусть матрица Q принадлежит группе GL (га, [R), матрицы J, С, D, X являются постоянными. Рассмотрим на группе Ли GL (п, [R) лагранжиан вида
L = Tr Jj (/со + со/) со + (Ссо + coC) S + Z>co] - V (S), (6.3)
где м = (?-1*?, S = Q~xxQ.
Утверждение 1. Группа JIu ортогональных матриц SO (п) a GL (п, [R) является инвариантным многообразием лагранжевой системы с лагранжианом L (6.3) на полной линейной группе GL(и, [R), если матрицы J, С симметрические, а матрицы D, х кососимметрические.
Это утверждение означает, что экстремали функционала действия S1 =^L dt на ортогональной группе Ли SO (п) являются также экстремалями относительно произвольных ваіриаций всех матричных компонент.
