Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
ще гаг — полная масса жидкости, индекс і означает транспонирование, Mjk — компоненты матрицы М.
Вектор M = WiiM полного момента количества движения твердою тела и жидкости в системе отсчета S имеет следующие компоненты:
Mi=^lIikAh-JiBi,
ft= і -о)
Iih = ?і8і + то^1 (/?ft + /?), gi = d) + d?, yi = 2djdl,
где Iik— тензор инерции твердой оболочки в системе 5; i, j, I = 1,2, 3.
Закон сохранения полного момента количества движения имеет вид
M = MXA. (2.4)
Три последних уравнения машинной гидродинамики (1.1) выполнены тождественно в силу определений (1.2) и (1.3). Переходя к преобразованию первого уравнения (1.1), отметим, что гравитационные силы в случае идеальной несжимаемой жидкости эквивалентны переопределению давления pi= р + рФ и поэтому не оказывают
295 влияния на динамику рассматриваемой модели. Эффективное давление pi для движений с однородной деформацией является квадратичной функцией координат:
з
Pi = Po (0 + S (рц (0 а V + Pi (t) а'),
і,3=1
где Pa(t) — компоненты симметрической матрицы Po(I) ¦ Подставляя указавшую формулу и формулы (1.2), (1.3) в первое уравнение (1.1), получаем, что это уравнение эквивалентно следующим матричному и векторному уравнениям:
рJP =-(F-1)tP0 + ((Fr1) lIiFiFh + Fh2)/4 л,
PiW-- І Fi(Q1)V. (2"5)
M=I
Обозначим K0 = FtF — FiF; очевидно, K0 = PtF —
— FtF — антисимметричная часть матрицы F1F. Симметричная часть этой матрицы определяет матрицу Pq(I) :
2Ро = —р (FtF + FiF) +
+ (In)-1HFtFh + (4л) -1 (FtFh2 + h2F'F). (2.6) В силу (2.5) имеем
ptfo =^(An)-1 (K2FtF-FiFh2). (2.7)
Используя определение (2.1), получаем:
K0 = QtzKQv K = D2B + BD2 - 2DAD, FtF = Qt2D2Q2.
(2.8)
При помощи этих формул уравнение (2.7) преобразуем к эквивалентному виду:
K= [К, В]+ к [Q2H2Qt2, D2], X = (4яр)-\ (2.9)
где квадратные скобки означают коммутатор матриц. Обозначим и = Q2hQ2; тогда в силу (2.1) получаем
й = [и, В], [и2, D2] = [и, uD2+ D2u]. (2.10)
После изоморфизма (2.2) к осодамм е три чес к о й матрице и отвечает вектор и с компонентами и1, и2, и3; матрице К и матрице y,(uD2 + D2u) отвечают векторы Khw, имеющие следующие компоненты:
Ki = g?l - ^iAi, Wi = HgiUi, і, j, к = 1, 2, 3 (2.11)
296 (здесь нет суммирования по і). В векторных обозначениях (2.3), (2.11) уравнения (2.4), (2.9) и (2Л0) определяют полную систему уравнений, описывающих динамику твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью:
M=MXA, K = KXB-HuXw, u = uX В. (2.12)
Уравнения (2.12) полностью определяют зависимость матрицы F от времени, поэтому уравнение (2.6) и второе уравнение (2.5) позволяют найти матрицу PoKO и коэффициенты Pi (t), т. е. вычислить давление внутри жидкости (с точностью до несущественной аддитивной постоянной) .
Уравнения (2.12) являются обобщением классических уравнений движения тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью [148], и выведены впервые в работах [123, 1,24]. Классический случай соответствует отсутствию магнитного поля и получается из (2.12) при и = 0.
§ 3. Первые интегралы динамической системы.
Интегрируемые случаи
I. Важнейшим интегралом динамической системы (2.12) является интеграл полной энергии E (без постоянной гравитационной анергии), который складывается из кинетической анергии жидкости Е\, внутренней энергии магнитного поля E2 и кинетической wJprmi вращения твердого тела E3:
E1 = Г dx1 dx* dx3 = і" Щ Tr (FFt) + 42 IfhAiAh, J " »,ft=і
(3.1)
E2 = J п! dx1 dx3 dx3 = ^ Tr (HtFtFh) d^l?.,,
я
^3 = -2 IijA1 A3* E = E1 + Ei + E3.
І, J=I
Используя в этих формулах обозначения § 2, получаем: 2Н = ZEIm1 = (М, А)+ (К, В)+ (u, w) =
= І (IikAiAh-IyiAiBi + ^(RiY + Kgi(u'Y), (3.2) gi = dl + dl, yi = 2djdh, і, j, к = 1,2, З,
297 Очевидно, Mi = OHIdA*, Ki = OHjdBi, Wi = OHfdui. Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция Ji=H- первый интеграл системы (2.12). Эта система имеет также еще следующие три первых интеграла:
Z2 = (M1M), Z3 = (U1U)1 Z4 = (K1U). (3.3)
С точностью до множителя интеграл Z2 есть квадрат полного момента количества движения, Z3 — квадрат вектора h напряженности магнитного поля в лагранжевых координатах, Z4 — скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора h. Совместный уровень трех интегралов (3.3) определяет шестимерное многоооразие Mb = T(S2)X S2 — произведение касательного пучка к двумерной сфере на двумерную сферу S2.
Система (2.12) представляет собой специальный случай уравнений Эйлера в сопряженном пространстве L* к алгебре Ли L, являющейся суммой алгебры Ли группы Gz движений трехмерного евклидова пространства и алгебры Ли SO (3). Многообразия Mb являются орбитами коприсоединенного представлении группы Ли G = G3X X SO(3) в пространстве L*, поэтому на этих многообразиях стандартным образом [120] определяется симплек-тическая структура; система (2.12) на Лъ гамильтонова с гамильтонианом Н.
В случае шаровой полости (di = J2 = d3) машитное поле не влияет на динамику системы и уравнения (2.12) сводятся к обычным уравнениям Эйлера вращения некоторого эффективного твердого тела. В случае осевой симметрии твердого тела и полости
