Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
P))a = ${t), (Ф<(t, Р))0 = ^(і)-Вг, (4.11)
где Dr — дивизор точек ветвления римановой поверхности над комплексной /^-плоскостью. По формуле Римана — Гурвица имеем х(Г)= 3%(S2) — deg(Dr). В силу Х(Г)= —6, X(S2)=Z получаем deg(Dr)= 12.
16* 243 Из последнего уравнения (4.10) в силу определения A = w — z~4 получаем, что при P-+-Pn(z = E1-1->0, W-+Bh) матрица g(t, Р) имеет асимптотическое разложение
g = g0 + g1z + ga?+ (gj = di8t (4.12) (*М = {іг - IiV1 (бісоГ - ?fcoi), (іі - ij) ы! =
= - (si)! + (Is - ііг1 (бісові - oij1o)?) +
+ (Ii - /,гНІЇМ - coicof).
Функция gi(t, P) в силу определения (4.9) и асимптотики (4.12) является мероморфной на всей поверхности Г, ее дивизор представляется в виде [58]
ы (t, P)) = di (t) + d} (t) -Dr+ 2 (P01 + P02 + P03)- P0i - P0j.
(4.13)
Для мероморфной функции gl (t, Р) имеем deg (t, P)) = = 0. Отсюда в силу deg(Z)r)=12 следует degdi(f) = = deg^(0 = 4 = g(r). Определим функции
Функции т, P), і|)і(?, т, Р) не зависят от нормировки собственных функций (4.8) и являются мероморфны-ми в аффинной части Г, их дивизоры имеют вид
(i|)j(*, т, Р))а = ії(1)-ії(т),
т, P))a = di(t)-di(т). (4.15)
Используя определения (4.9)-(4.14), получаем:
aing{(«, Р) flin^«, о, р) д 1п>{ (<, 0, Р) dt dt + dt *
Отсюда, используя асимптотику (4.12) при Р-> P0, на ходим:
(o{(t) = С{ lim V (t, 0, P) Tpi (t, 0, P), v4.16)
p.PP
где C3i — некоторые константы. 244 Формулы (4.16) позволяют выразить угловые скорости Wi (t) через б-функции римановой поверхности Г. Для этого необходимо установить аналитические свойства функций і|)і, в силу которых эти функции однозначно выражаются через 0-функции Римана. Покажем, что в трех точках Р°, имеющих координаты z — E~l = О, W = wE~2 = Bk, функции if>j(?, т, Р) и if>,(?, т, Р) имеют существенные особенности с асимптотиками
^(f, т, P) = a}(t, х, P)exp((t-x)Ikz-1j,
т, P) = a,(?, т, Р)ехр(—(t— x)Ihz~l), *
где функции и <xi мероморфны в окрестности точек Pft. Функции i|)j(f, т, Р), г|);(?, т, Р) в силу (4.8)-(4.14) удовлетворяют уравнениям
d In V (t, т, P)/dt = V (t, Р)/я])5 (t, P) = = - eiv (t, P)/V (t, Р) = Z-1Ij - 4 (t) (t, PW («. Р) =
= Z-1Ij - COg (t) gsx (t, P)/gi (t, Р), д In г|н (t, х, P)/dt = фі (t, P)/Фі (t, Р) = = (t, P)/фі (г, Pj = - Z-1Ii + ©? (О ф8 (t, Р)/фг («, Р) = = - Z-1Ii + Cu! (t) g* (t, Pygxi (L1 Р). (4.18)
В формулах (4.18) (значения которых не зависят от х) положим X = к и используем асимптотику (4.12); получим, что при P Ph
д In У" (t, х, P)/dt = Z-1Ih + f}h (t, z), д In г|)і (г, т, P)/dt = - Z-1Ih + fih (t, z),
їде функции l}h (t, z), /?? (t, z) голоморфны в окрестности точки Pft. Из формул (4.19) и тождества і|Iі(t, t, P) = = i)3i(^ t, Р) = 1 следуют асимптотики (4.17). Из формул (-4.18) при і = к = X в силу антисимметричности Coi следует fh (t, Pj) = 0 и fu{t, P0i) = 0, поэтому
Oi (t, х, P0j) = 1, сц (t, х, Р?) = 1. (4.20)
Функции 9(t, х, Р) и i))((t, х, Р) являются трехточечными функциями типа Бейкера — Ахиезера с существенными особенностями в точках Ph и дивизорами полюсов d](x) и di(т) соответственно. Функции і|У(?, т, Р) и ifi(t, х, Р) при нормировке (4.20) определены одно-
245 значно на основе следующих конструкций. Пусть а\, ... ..., 04, Ъі, ..., &4 — базис циклов на римановой поверхности Г с индексами пересечений а,- ° а, = b, ° b, = 0, а,- ° bs = = 6«; o)i, o)2, шз, u>4 — голоморфные дифференциалы на Г
с условием нормировки (j) (Oj = 2nioj. Матрица Римана
aK
B(T) с компонентами Bij определяется формулами Вц = = (j) «j. Классическая 0-функция Римана, отвечающая Ч
поверхности Г, определяется своим рядом Фурье вида G(Z11Z21Z35Z4)= S ехр (2-1^, ЛО + (N, Z)). (4.21)
Отображение Абеля А: Г ->- Jac Г, где Jac Г — многообразие Якоби кривой Г (Jac Г = T8 = С4/{2ш7У + BM)),
определяется формулами A (P) = (Л і (і3), ..., A4(P)), где р
Aj (P) = j" cuj. Для дивизора D = с\Р\ + ... + CsPs отобрало
жение Абеля A(Z)) = CiA(Pi)+... +CsA(Ps). Пусть Qft (к = 1, 2, 3) — абелев дифференциал второго рода на Г с главной частью в точке Р\ вида —dz/z2, нормированный условиями (j) = 0, /= 1, ...,4. Векторы Uft имеют
аз
компоненты
/ = 1,2,3,4, к= 1,2,3.
'bJ
Обозначим Q = IiQ + Z2Q2 + Шъ и U = ZiU + Z2U2 + Z3U3. Трехточечные функции Бейкера — Ахиезера Ipj и ^fi определяются формулами
V (г, T1 P) =
V (A (P) - A (d'' (т)) + (( - т) U - К) I (A (P) -А (т)) -К)
(4.22)
іМі.т.Р) =
^V(A(P)-A(^(T))-(t-T)U-K)
T'J4 Є (A (P)-A (Ji(T))-К) • Здесь вектор римановых констант К имеет компоненты
р
I
Kj = кі + j Bjj - ш
f ®Д /=1,2,3,4.
ft^j -Л ^O J
Множители с' и Ci определяются нормировками (4.20) и имеют вид
ci - exp ((т - t) і') е (A (Jg)-A(^W)-к)
-ехрит 0 ^A (Pj) — A (d^ (т))+ (( — т) U — к)'
(4.23)
- ехр (- (т - ftEi) 9(АИ)-A(^tX))-к)_
где константы (I = 1, 2, 3) определяются формулами I1 = hli + hl\ + 7з5з, причем
A ,P X
I1k = (1 - 8[) J Qft + Iim j Qft- Z-1 .
P0 P^P0h \Р0 J
Обозначим через о/ образ функции / при инволюции кривой Г: o(w, E) = (w, —Е)\ oD — образ дивизора D.
