Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Богоявленский О.И. -> "Опрокидывающиеся солитоны" -> 74

Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны — М.: Наука, 1991. — 320 c.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка): oprokidivauesoliton1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 97 >> Следующая


u(gk) = ahgh, gk = Qt (ek). (4.34)

Координаты ортонормированных собственных векторов Si (О» g2(?), gs(t) выражаются через компоненты u\(t)

(4.32), (4.33) матрицы u(t) с помощью арифметических операций. Координаты векторов gh(t) в силу формул gh=Q'(eh) являются столбцами матрицы Q(t). Следовательно, все компоненты матрицы Q(t) определяются через компоненты матрицы u(t) с помощью арифметических операций и поэтому выражаются через 0-функции Римана в силу формул (4.30)-(4.34). Теорема 2 полностью доказана.

§ 5. Динамика симметричного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с квадратичным потенциалом

В данном параграфе мы покажем, что в случае симметричного твердого тела (/1=/2) интегрируемый случай, исследованный в § 2—4, оказывается связанным с классической системой Неймана [160] на сфере S2 и ин-

250 тегрируемым случаем Клебша [111] для уравнений Кирхгофа. При этом динамика твердого тела выражается в тэта-функциях Римана от двух переменных 0(zi, z2).

Пусть Xі, X2, Xі — координаты в неподвижной системе отсчета F, в которой квадратичная форма (3.9) диа-гональна; г1, г2, г3 — координаты в системе отсчета S, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции твердого тела диагонален: Iih = = IiSik. Пусть а(t), ?(i), ч (t)—орты неподвижной системы отсчета F, рассматриваемые в системе S.

В § 3 показано, что поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом разделяется на независимое движение центра масс в поле с данным потенциалом и на вращение твердого тела вокруг неподвижного центра масс в поле с однородным квадратичным потенциалом. Далее рассматривается только вращение твердого тела вокруг центра масс.

Функция Лагранжа, описывающая вращение твердого тела вокруг неподвижной точки 0(0, 0, 0) в ньютоновском гравитационном поле с однородным потенциалом (3.9), имеет вид

L = I (I1Co21 + I2CO22 + /,со*) - U (а, ?, у), (5.1)

где (0=((01, (02, (0з) — вектор угловой скорости вращения твердого тела (в системе отсчета S); потенциальная энергия U(а, ?, у) в силу (3.15) определяется формулой

2U (ос, ?, у) = — Ci1 (I1Oi21 + I2a\ + Iza%) —

- (Z1Pi + + I Si) - % (hyl + hyl + Irfs)- (5.2)

Пусть q (t) — единичный вектор, направленный по оси симметрии тензора инерции тела (и соответствующий собственному значению Із) ¦ Ориентацию твердого тела в системе F определим углами Эйлера 6, лр, ф, причем 6 — угол между векторами q(?) и ?, яр — угол прецессии, ф — угол поворота твердого тела вокруг оси q (?). Вектор q(t) в системе отсчета F имеет координаты

qi = (q, a) = sin 0 sin яр, q2 = (q, ?) = —sin 6 cos ip,

?3 = (q, Y) = cos 0. (5.3)

В системе отсчета S вектор q является постоянным и

251 имеет координаты (0, 0, 1); поэтому справедливы равенства

?1=(4, «) = аз, ?2 = (4, P)=?3, ?3=(4, If) = Тз- (5.4)

Функция U (а, ?, Y) (5.2) для симметричного твердого тела (Іі = I2) в силу ортонормированности векторов ос, ?, Y и формул (5.4) имеет вид

W (а, ?, V) = C1 + (I1 - I3) (йі«з2 + «a?? + a^D =

= C1 + (Aq, q), (5.5)

где оператор А имеет компоненты Aij = (11—h)aiбц и с і = —Ii (а\ + а2 + яз).

Функция Лагранжа (5.1) для симметричного твердого тела в силу (5.5) принимает вид

Li = J h (О2 + V sin2 0) + 113 (ф cos 9 + <р)2--j (Aq, q).

(5.6)

Лагранжиан L\ по физическому смыслу и вследствие формул (5.3), (5.6) не зависит от поворотов вокруг оси симметрии, т. е. Ь\ не зависит от угла ф. Поэтому соответствующий импульс p<f сохраняется: дЬл

Pcp = -+ = Z3O1I3 cos 0 + ф), (5.7)

дф

Функция Рауса L2 = L\ — рчф, представленная в координатах вектора q(i) ((4, q) = 1), имеет вид

L2 = у 1I (Ч' Ч) + Ар1!5 cos 0 — (q, Aq) — ^j- р\. (5.8)

Лагранжиан L2 при р^ = 0 совпадает с лагранжианом системы Неймана [160] на сфере S2. В общем случае лагранжевы уравнения, соответствующие лагранжиану (5.8), имеют вид

Ziq = —Aq — Xq) + Xq. (5.9)

Здесь X(?) = (^4q, q) —/i(q, q)—множитель Лагранжа, определяемый из условия сохранения системой (5.9) связи (q, q) =¦ 1.

Слагаемое —Pv(qXq) в (5.9) описывает силы, аналогичные воздействию на электрический заряд монополя Дирака [161], и возникает из вариации слагаемого

cos в в лагранжиане (5.8), который связан с редук-

252 цией лагранжиана (5.6) по группе симметрии, соответствующей циклической координате ф.

Интегрируемость системы (5.9) по Лиувиллю и в тэ-та-функциях от двух переменных 0(zb z2) при р<р='О следует из интегрируемости классической системы Неймана [160]. При /?ф?=0 уравнения (5.9) совпадают с уравнениями, возникшими из совершенно другой задачи — динамики бегущих волн для вектора намагниченности в уравнении Ландау — Лифшица. Эти уравнения, как показано в [162], сводятся к интегрируемому случаю Клебша для уравнения Кирхгофа. С помощью отображения

4->M=qXq-/r4q (5-Ю)

уравнения (5.9) преобразуются к виду

M= qX JT1^q, q=qXM (5.11)

и описывают специальный интегрируемый случай Клебша на уровне первого интеграла (M, q) = — Р^Т1- Приведем явные формулы, описывающие динамику траекторий системы (5.11) в тэта-функциях 0(zi, z2) [105, 163]. Гамильтониан H и интеграл Клебша /4 имеют вид
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed