Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 1. На многообразии Якоби JacT справедливы равенства
А(#(1) + оІЇ(1))=:А(ії(х) + оІЇ(х)),
A(dt (t) + Odi(t)) = A(dt(х) + Odi(X)). { '
Действительно, рассмотрим функции a\|)j(?, т, Р) и <тфі(?, т, Р). По определению af (W, z) = f(W, — z), о (P°h) = Pu, поэтому асимптотика функций Crrpi и при z ->- 0, P-^P0k отличается от (4.17) только знаком в аргументе экспоненты. Следовательно, произведения Ijji ¦ сп|У (?, т, Р) и я)', ¦ 01):,(/, т, Р) являются мероморфны-ми функциями на Г, их дивизоры в силу (4.15) имеют вид
(У • oij)'(т, P))= ds(t) + Odi (*)- <$(%)- Odi(X), (г))f<jty(t, х, P)) = di(t) + odi(t) — di(x) — odi(x). Отсюда по теореме Абеля и получаем равенства (4.24).
247 Выберем точку Po в определении отображения Абеля так, чтобы A(dx (0) + ad1 (0)) = 0, тогда из (4.24) следует:
А (^(О + ойЧО) = 0- (4-25)
В силу (4.25) вектор A (di(t)) принадлежит многообразию Прима Prym0 Г cr Jac Г (некоторые свойства и приложения многообразий Прима обсуждаются в [134, 136]). Комплексное многообразие Prym0T является абе-левым тором в JacT, размерность dimc (Prym0 Г) = = g(T)— g"(Гі) = 3 равна размерности инвариантных торов T3 интегрируемой системы (3.14) (торы T3 определены фиксированными значениями интегралов (4.4), что определяет также и риманову поверхность Г). Согласно вышеизложенным конструкциям определено отображение f: T3 -> Pryma Г с Jac Г:
f(o4(0, и\ (O) = A (d>(t)). (4.26)
При этом отображении динамика системы (3.14) линеаризуется на многообразии Prym0 Г. Действительно, в силу (4.15) дивизор нулей функции 0, Р) есть dl(t); согласно явной формуле (4.22) и свойствам 0-функции Римана, образ дивизора dl (t) при отображении Абеля имеет вид
A(d'(t)) = A(d'(0))-tV. (4.27)
Отсюда, в частности, следует, что вектор U є Prym0 Г и траектория rtJ в общем случае заполняет всюду плотно трехмерный (вещественный) тор Ti в многообразии Прима Prym0T. Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма 2. Динамика системы (3.14) с помощью отображения (4.26) линеаризуется на многообразии Прима Prym0 Г с Jac Г.
Векторы A(di(t)), A(d'(t)) однозначно определяются векторами A(d'(i)) [58]. Действительно, ввиду мероморфности функций gl (t, Р) из теоремы Абеля следует A((gi (i, Р)У) = 0. Поэтому из (4.13) получаем:
A (di (t)) = A [Dr- P01 - 2P02 - 2Pl + P0i-di (і)), ,, „R
Из (4.28) и (4.27) следует A(di(t)) — А(^(0))= rtJ и A(d'(t))— A(d'(0))= — Ш, т. е. при разных і, / определяются тождественные обмотки многообразия Прима Prym0T.
248 Для получения явных формул ДЛЯ COi (t) перемножим формулы (4.22) и (4.23), получим:
lim V (f, О, Р) % (t, О, Р) = exp (t {Iі - Iі)) X
P^P0j
8 ( А - A (Cli (O)) - Ш - К) -9 (А (Р°) - A (d- (0)) - К) Х Є (A (P0i) - A (d, (0)) - (U - К) - в (А (Р°) - A (d, (0)) - К) '
(4.29)
Используя четность 0-функции Римана, формулы (4.28) при іФ] и подставляя (4.29) в (4.16), получаем:
z0 = A (Dr - d> (0) -P01- 2P02 - 2Р°) + к.
Формулы (4.30) и дают представление решений системы (3.14) через 9-функцию Римана поверхности Г, определенной уравнением (4.3)-(4.5). По начальным значениям искомого решения а>( (0), и\ (0) однозначно определяется риманова поверхность Г и все указанные выше аналитические конструкции, в частности, дивизор dl (0) и вектор Zo, после этого из формул (4.30) при t = 0 однозначно определяются коэффициенты A3i. Тем самым по начальным данным «4(0), и\(0) в силу (4.30) определяется зависимость от времени всех угловых скоростей a>l(t).
В силу формул (4.30) функции (Oi (if) являются ме-роморфными функциями на всей комплексной плоскости переменного t. Также мероморфными являются функции м{ (t) = IM (t) (г, /, к = 1,2, 3). Из формул (4.30) следует, что все эти функции имеют общие полюсы первого порядка в комплексных точках t, удовлетворяющих уравнению
0(Ш + z0) = 0. (4.31)
III. Покажем, что компоненты симметрической матрицы U3i (t) являются мероморфными функциями t с полюсами второго порядка в точках (4.31). Недиагональные компоненты U3i (t) определяются из первого уравнения (3.14):
и! (t) = (Ii - Ij)-i [м{ - J2 (MkMh - соЇМІ)) (4-32)
249 и в силу (4.30) являются мероморфиыми функциями t С полюсами второго порядка. Диагональные компоненты и\ (t) определяются из второго уравнения (3.14):
и\ = І (uWh-(4.33)
ft=і
Вследствие кососимметричности матрицы (Oft (I) ((4(0 = 0) в правую часть уравнения (4.33) входят только недиагональные компоненты Ui (t), которые определены выражениями (4.32). Поэтому диагональные компоненты Ui (t) определяются квадратурами — интегрированием по t уже известных правых частей уравнений (4.33), которые в точках (4.31) имеют полюсы третьего порядка. Следовательно, диагональные компоненты матрицы u\(i) также являются мероморфными функциями t и имеют в точках
(4.31) полюсы второго порядка.
Для вычисления ортогональной матрицы Q(t), определяющей ориентацию твердого тела, воспользуемся формулой (3.13): u = Q'aQ. Пусть ei, е2, е3 — собственные векторы постоянной матрицы а, определяющей квадратичный потенциал (3.9): a(eh)=ahck. Векторы gk = = Qi (вл) являются собственными векторами матрицы и:
