Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Интегралы Jti четвертой степени
I. Предположим, что для уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А константы гамильтониана H (1.6) удовлетворяют условиям C1 = Qi = 0. Рассмотрим решения уравнений (1.7), для которых функции zE, we, vs имеют вид (е = ±1)
Ze = CI1Ml + ^ia-MlM2 + CC2Ma + + ^y1K1 + 2уЛ2+а,
(2.1)
Wt = 2гхМъ, Vs = 2гуК*,.
Уравнения (1.7) после подстановки производной ?е (2.1) в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений M4 Ki приводят к следующей системе
263 алгебраических связей на коэффициенты:
«з (таї — Kia3) = хаи а3(п2аз — п%а2) = ха2, «і (п2а3 — и3а2) + (таї — /^a3) = 2ха3, z? = — г/ге3,
(2.2)
осі(n2b3 — га3&г) + ?(xre162 —«гаї) = 0, a3(n3b\ — пф3) = упи a2(n3bi — ^ib3)+ ?("i«2 — хпфх)= 0, аъ(п2Ъъ — п3Ь2) = уп2, газЩГі +,(гаї ?x — n3ax)r2 = — из«і),
(гаэа2 — n2?jt)/-i — 8 П3ЩГ2 = Чі(п3а2 — %n2b3), Ч2(кпьЬі - геїаз)= (пааз — У.П3Ь2) = 2жу2,
ХП3("І2Гі — Ifir2)== є ,то.
Первые три уравнения системы (2.2) образуют замкнутую подсистему, из которой легко находятся коэффициенты X и он, <%, аз, определенные с точностью до несущественного общего множителя. Затем из следующих пяти уравнений находятся коэффициенты у, ? и три связи на коэффициенты bi, bj, которые имеют вид
nI п2 V п2 nI "Г nS nI п2
Из оставшихся пяти уравнений (2.2) находятся коэффициенты Ti, Чі, о. Окончательно система (2.2) сводится к трем связям (2.3) и соотношениям
CCi = ЯзЯї - ща3, а2 = п2а3 — п3а2, а% = («іa2)1/2, х = а3, JW= - «2 ^ - -?"). f = —Cr = O1 + 2ЄСТ2,
(2.4)
xn-з ((?!???)-1 («2«lrl + «lViD- (T2 = — '
ennxr
-w1 = щг-, h--1 j 2 , v2 = — n3r2--2 3 .
rl 311 nCtaI 12 6 1 Tl1CC2
Коэффициенты a, ?, x, у определены с точностью до общего множителя. При выполнении условий (2.3) система (1.3) на уровне J3 = О имеет дополнительный интеграл
Ji = (OL1M21 + Ct2M2 + ?tfj + 2л, № - r2K2) + O1)2 -
-Aaia 2N\
N = M1M2 + (п\п ^2T2K1 — Tiln-^iT1K2) j HsU2O* —
2 —2 — H3KT1T2CC3 ,
264 и поэтому вполне интегрируема на однопараметрическом множестве орбит О (J2 = с2, Z3 = 0). Во всем пространстве L*(M{, К,) функция Ji удовлетворяет уравнению
Ji = 8а1а2из(^і/лі — b3/nz\NK3Jz. (2.6)
Если аі/гаї = аг/гег, то в силу (2.3) Ь4/га, = bj/щ, следовательно, Ji = О и система (3) интегрируема при любых значениях интеграла Jz- При к = 0, Si = О получаем классический случай С. В. Ковалевской [104], а при и = О, Ьі Ф О — случай С. А. Чаплыгина [108] для уравнений Кирхгофа.
Если а\1щ Ф а2/п2, то функция Ji при І/зІ < 1 является адиабатическим инвариантом системы (1.3). В полученном семействе уравнений Эйлера, интегрируемых при Jz = 0, пять коэффициентов а\, а2, а3, Г\, г2 гамильтониана H (1.6) произвольны.
II. Второе семейство интегрируемых случаев уравнений Эйлера (1.3) получается при условиях (е = ±1)
ze = агК\ + 2 Ea3K1K2 + агК\ +
ws = zxMv Ve = Щ)К3. (2.7)
После подстановки ?„ в силу системы (1.3), уравнения (1.7) сводятся к системе алгебраических связей на коэффициенты
az(yinzbi — щаз)= хщ, аз(гагаз ~ Krnb2)= XO2, аі(п^а3 — кпф2)+а2(кп3Ьі — ща3) = 2а;а3,
*? = — ynz, ? (/2-1^2 КПгЬі) — OCi («3«2 — xn2bz) = О,
аз(газ<ц — lHTiib3) = упи (2.8)
?(%raib2 — n^? і)+ а2(газ0і — кпіЬ3)= О, oc3(xra2bi — п3а2) = уп2.
Система (2.8) решается аналогично системе (2.2) и сво дится к трем связям на коэффициенты at, b{ (і, /, k = = 1, 2, 3):
2%Ьі[пі = a/raj + ak/nh (2.9)
и соотношениям
«і = кпфх — Jiia3, а2 = п2а3 — %пф2, «з = (ocia2) 2i (2.IOJ X = а3, 2? = п\ (а2/п2 — O1Zra1), у = — a;?/ra3.
Система (1.3) при выполнении условий (2.7) и J2 = О имеет дополнительный интеграл
J4 = (CC1Z* + + ?tff)2 - Aa1UiK21K22 (2.11)
265 и является поэтому вполне интегрируемой (при /з = 0)'. Во всем пространстве L* функция Ji удовлетворяет уравнению
h = 4и3 (Ci2Zn2 — Uifnl) K1K2K-J-A
и является адиабатическим инвариантом при l/зі < 1.
Таким образом, доказана
Теорема 1. Существуют два семейства (2.3), (2.9) уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах JIu класса А (и Ф 0), которые вполне интегрируемы по Лиувиллю на однопара-метрическом множестве орбит О (J2 = с2, /з = 0) и имеют дополнительные интегралы четвертой степени (2.5), (2.11). При а\1п\ = а21п2 полученные уравнения Эйлера интегрируемы во всем пространстве L*.
Для алгебр Ли SO(4) и SO (3.1) уравнения (2.3), (2.9) имеют открытое множество положительных решений а і > 0, Ьі > 0. Семейство интегрируемых случаев (2.9) не допускает включения линейных слагаемых в гамильтониан H (1.6) и при и -*¦ 0 приводит к вырожденным уравнениям. Интегрируемость во всем пространстве L* при ai/ni = aiJn2 для семейства (2.9) очевидна, а для семейства (2.3) при Ti Ф 0 следует только из существования !интеграла (2.5), как и в случае Ковалевской [104].
Отметим, что уравнения Эйлера (1.3) при условиях
Ci = Tj =Qi = 0 и
nI nSj \п2 П1
имеют дополнительный первый интеграл
Ji = У г Kl + угК\ + y3Kl (2.13)
где
lLL = IaI-KbI Y
reX Vre2 nI J Vn3 nI) h.) (aJL-XbJ
n2 niJ [nS пі
і 2 і
