Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Уравнения Эйлера для двух классов шестимерных коалгебр Ли
Рассмотрим два класса А и В шестимерных алгебр Ли L, для которых коммутаторы в некотором базисе Xi, Yh (і, у, к = 1, 2, 3) имеют следующий вид: в классе A ^
[Xi, Yj] = BijhnhXk, Yj] = ZijhnhYh,
(1 1)
[У4) Yj] = EijkHhKXk,
в классе В
[Zil Xj] = гтпкХк, [Х(, Yj] = О, [У„ Yj] = ZijhTnhYh. (1.2)
Здесь Zijh — антисимметричный тензор, nh, mh, х — структурные константы. В классе А содержатся алгебры Ли: SO(4) (B1 = I1X = I), S0(3.1) (иі = и2=1, газ = -1, х = -1), SO (2.2) {щ = Ti2 = 1, из = — 1, к = 1),
260Es(n{ = i, к = 0), Ьз(т = п2 = і, = -1, и = 0) и др.
Алгебры Ли Еь и Lz соответствуют группам Ли движений
трехмерного евклидова и псевдоевклидова пространства.
В классе В содержатся алгебры Ли SO (4)= SO (3)® SO (3)
(щ = 1, Tni = 1), SL(2, К) © SL(2, R) («і = my = n2 = m2 =
= I1 пъ = Tti3 = —1), SO (3)+ SL (2, R) (ft, = 1, mx = m2 =
= I1 mz = —1) и др.
Пусть Xj, Yi — базис в сопряженном пространстве
L*, двойственный базису Xi, Г,-. Векторы из L* представ-з
ляем в виде I (0 = S (Mi (t) X* + Ki (t) Y*). Уравнения і=1
Эйлера определены в пространстве L* и имеют вид: в классе А
M = MXo + KXu, K = KXft) +хМ X и,
щ = Ui = S? Mi=HiMi, Ki = UiKi, (1-3)
где ZX Y означает векторное произведение трехмерных векторов, в классе В
M = MXA, K = KXB1
л _ дН п aH — - (1.4)
* ~ Ш~і * — OKlf Мі = тМи Ki = TniKi.
Уравнения Эйлера (1.3), (1.4) имеют следующие первые интегралы:
з з
A: J1 = H, J2 = 2 (иге;M?. + Ti1K2l), J3 = ^1 UiMiKu i=l i=l
(1.5)
З з
В: J1 = H, J2 = 2 щМ\, J3 - 2 TniKl 2 = 1 1=1
Пусть G — группа Ли, имеющая алгебру Ли L, и О — орбиты коприсоединепного представления G в L*. Орбиты О определяются условиями J2 = C2, Jz = Cz и являются четырехмерными симплектическими многообразиями, инвариантными относительно уравнений Эйлера (1.3), (1.4). Системы (1.3), (1.4) на орбитах О гамильтоновы с гамильтонианом H(Mi, Ki). В дальнейшем рассматриваются гамильтонианы H вида з
H = + 2CiMiKi + ЬіК\ + IriKi + IqiMi). (1.6)
261Уравнения Эйлера (1.3) для алгебры Ли E3(n{ = i, х = 0) совпадают с уравнениями Кирхгофа движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; их частным случаем являются уравнения вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки [116]: известны классические интегрируемые случаи этих уравнений, найденные В. А. Стендовым [105], A. M Ляпуновым [107], С. В. Ковалевской [104] и С. А. Чаплыгиным [108].
Для интегрируемости гамильтоновой системы (1.3) (или системы (1.4)) на орбитах О по Лиувиллю достаточно указать дополнительный .первый интеграл Ji. Метод построения интеграла /4, используемый в данной главе, состоит в отыскании условий на коэффициенты гамильтониана Н, при которых из системы уравнений (1.3) (соответственно (1.4) ) следуют два уравнения
Z+ = w+z± + v+J3, Z- = W-Z- + V-J3, (1.7)
где функции z+, Z- являются (комплекснозначными) многочленами первой или второй степени и W+ = ~ W- При выполнении уравнений (1.7) система (1.3) на уровне J3 = = 0 (т. е. на однопараметрическом множестве орбит 0\(Ji = C2, /3 = 0)) имеет дополнительный интеграл второй или четвертой степени Ji = z+z-; если же v+ = V- = 0, то система (1.3) имеет первый интеграл Ji во всем пространстве L*. С помощью этой конструкции получаются все названные классические интегрируемые случаи [103—108] уравнений Эйлера на алгебре Ли E3 и их обобщения на другие алгебры Ли (1.1), (1.2).
В § 2 показано, что существуют два семейства уравнений Эйлера (1-3) на алгебрах Ли класса А (в частно-, сти, на SO (4)), которые алгебраически интегрируемы на уровне J3 = 0. Эти два семейства определяются условиями:
L = 2h = h + h. (18)
nI п2 V п2 nI V "з nI V
+ i,j, k =1,2,3, (1.9)
nX nj nh
причем Ci = Ti = q{ = 0. При этом дополнительный интеграл /4 является многочленом четвертой степени и интегрирование уравнений Эйлера на уровне J3 = 0 проводится (в § 3) явно в эллиптических функциях (для алгебры Ли SO (4)). Отметим, что в работе [144] показано, что алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера на
262SO (4) (при Ci = rі = qt = 0) во всем пространстве L* возможна только при специальных условиях [52]; новые интегрируемые случаи (1.8), (1.9) не удовлетворяют условиям работы [52] и поэтому являются алгебраически интегрируемыми только на уровне /3 = 0. Интегрируемый случай (1.8) при Tii = 1, х -»¦ 0 переходит в классический случай С. А. Чаплыгина [108]; обобщение случая (1.8) при Ti т4= 0 и а\ = а-2 при щ = 1, х -*¦ 0 переходит в классический случай С. В. Ковалевской [104]. Интегрируемый случай (1.9) не имеет классических аналогов.
Частным случаем уравнений Эйлера на алгебре Ли SO (4)= SO (3) ® SO(3) являются уравнения вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145—148]. Эти уравнения исследовал В. А. Стеклов [106] в качестве модели вращения Земли; В. А. Стеклов анонсировал интегрируемые случаи, обладающие дополнительным квадратичным первым интегралом /4. С современной точки зрения интегрируемые случаи [106] образуют трехпараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера па алгебре Ли SO(4) (отметим, что параметр M в [106, п. 3, п. 42] является несущественным и устраняется растяжением параметров А, В, С, а, Ь, с, которые связаны тремя соотношениями п. 42). В данной главе мы указываем (в § 4) более широкое шестипараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера па SO (4), а также его обобщения, содержащие линейные члены в гамильтониане Н. В § 5 указаны новые физические применения интегрируемых случаев на алгебре Ли SO (4).