Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
256 Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теорем 1 и 2 в трехмерном случае; поэтому мы укажем только основные моменты доказательства. Координаты х1, ..., точек движущегося твердого тела T определяются преобразованием
Zi = S Qi (t)r3+ ql(t), (7.3)
S=і
где Q) (t)— компоненты ортогональной матрицы, (f(t) — координаты центра масс. Функция Лагранжа твердого тела T определена на конфигурационном пространстве SO (п) X Rn и имеет вид
L = 4 J P (г) (х, х) dr - j р (г) ф (X) dv. (7.4)
T T
Подставляя в интегралы (7.4) формулы (7.2) и (7.3) и дважды используя равенства (7.1), получаем
L = L1 + L2, L1 = -J- ^(q, Ч) + 2 (flW^V + bi9*) j'
тп = j р (г) dr, (7.5)
т
= 1 І (<?Wa? - «іі<2афаР), -T* = fp (r) r*rpdr.
i,i,OC,?=l T
Отсюда следует, что поступательное и вращательное движения ге-мериого твердого тела в ньютоновском поле с произвольным квадратичным потенциалом разделяются.
Поступательное движение центра масс описывается лагранжианом гармонического осциллятора L\ и поэтому интегрируется в элементарных функциях.
Вращательное движение гс-мерного твердого тела определяется лагранжевой системой на группе Ли SO(га) с лагранжианом L2, который можно (представить также в виде
L2 = -1 Tr (JQ-1QQ-1Q) -1 Tr (Q~laQj), (7.6)
где а и J — симметрические матрицы с компонентами ац, Jciti- Введем кососимметрические матрицы а>, M и симметрическую матрицу и:
а - Q-1Q, M = Ja-3TaJ, и = Q~xaQ. (7.7)
17 О, И, Богоявленский 257 Уравнения Лагранжа с лагранжианом (7.6) преобразуется в уравнения
Й = [М, и] - [и, J], и = [и, и]. (7.8)
Матрицу J можио сделать диагональной с помощью ортогональной замены координат в системе отсчета S: Jan = /agap в дальнейшем вместо связи M = /со + со/ (7.7) мы будем рассматривать более общую связь
Mik =(6,-6,) (Jh-Ji)-iVik. (7.9)
Прямая проверка показывает, что уравнения (7.8) — (7.9) эквивалентны следующему матричному уравнению Лакса, зависящему от спектрального параметра E:
L = [L, А], L = BE2 + ME + и, А = со - JE,
где В — диагональная матрица с элементами Bik = 6A7l.
Уравнения (7.8) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли Ln2, элементы которой I представляются в виде I = M + и, а коммутаторы имеют вид (2.7). Орбрты О действия соответствующей группы Ли Gn2 в Lnz являются симплектическими многообразиями размерности п2 — п и определяются п условиями Xl (и) =Ci, . . ., X„(u)=Cn, где X{(u)—собственные числа матрицы и. Система (7.1) на орбитах О является гамильтоновой с гамильтонианом H = Tv(2~xM ¦ со — Ju). При выполнении условий (7.9) система (7.8) на О является вполне интегрируемой по Лиувиллю. Инволютивны-ми интегралами этой системы являются коэффициенты уравнения
R(w, E)=det(BE2 + ME + u- w ¦ 1) = 0. (7.10)
Вычислим род g (Г) римановой поверхности Г, определенной уравнением (7.10) (особая точка в бесконечности \Е\ разрешается в координатах z = E~1,. W=wE~l). Вследствие определения Mt = — М, и* = и, имеем:
R(w, E) = det.(L — w • 1)= det(L' — w ¦ 1) = R(w, -E).
Поэтому в уравнение (7.10) входят только четные степени E и на поверхности Г действует инволюция о: a(w, E) = (w, —Е). Обозначим Ei = E2, и пусть Гі = Г/о — риманова поверхность, определенная уравнением' R (W, Е\/2) = 0. Поверхность Гі имеет степень П, при bi Ф Ф Ъ} поверхность Гі не имеет особенностей в бесконечности, поэтому ее род g(Ti) = (w — 1) (и — 2)/2 [139]. Ото-
258 бражение /: Г Гі, f(w, E)=(w, Ei =E2) является разветвленным двулистным накрытием и в общем случае имеет 2п точек ветвления: га точек при E = 0 и га точек при Z = E'1 = 0. Поэтому для эйлеровой характеристики % (Г) и рода по формуле Римана — Гурвица по-
лучаем:
Х(Г)= 2Х(Г,)- 2га, g(T) = 2g(r1)+ га - 1 =(п - I)2.
Интегрирование системы (7.8) в 6-функциях Римана поверхности Г (7.10) проводится аналогично § 4. Аналитический вид окончательных формул для v>{ (I) внешне тождественен (4.30). В га-мерном случае также справедливы лемма 1 и лемма 2 из § 4 — после отображения (4.26) динамика системы (7.8) линеаризуется на многообразии Прима PrymaF с: Jac Г. Комплексная размерность многообразия Прима Ргут„Г равна вещественной размерности инвариантных торов системы (7.8):
dim,; (Prym0 Г) = g (Г) - g (T1) = п(п- 1)/2 =
= dimR Oj2 = dimR T.
В силу явных формул вида (4.30) решения системы (7.8) являются мероморфными функциями на всей плоскости комплексного переменного t.
260 ГЛАВА XI
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА НА НЕКОТОРЫХ ШЕСТИМЕРНЫХ КОАЛГЕБРАХ ЛИ
В данной главе построены уравнения Эйлера на ко-алгебре Ли SO (4) (и некоторых других шестимерных ко-алгебрах Ли), обладающие дополнительным интегралом четвертой степени и являющиеся алгебраически интегрируемыми (в эллиптических функциях) на однопараметри-ческом множестве орбит. Найдены интегрируемые уравнения Эйлера, обладающие дополнительным интегралом второй степени и обобщающие интегрируемый случай В. А. Стеклова. Выведены уравнения вращения твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Показано, что полученные уравнения являются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли группы Ли G„+1 = SO (3) X ... X SO (3), и найдены новые физические применения уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO (4). Указана лагранжева структура уравнений Кирхгофа.
